La Spécialité Maths en Première

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Variables aléatoires réelles

Définitions

Une variable aléatoire réelle $X$ sur l'univers $Ω$ d'une expérience aléatoire est une application de $Ω$ sur $\ℝ$.

Soit $x$ une valeur prise par la variable aléatoire $X$.
L'événement "$X=x$" est l'ensemble des événements $e_j$ de $Ω$ tels que $X(e_j)=x$.
L'événement "$X≤ x$" est l'ensemble des événements $e_j$ de $Ω$ tels que $X(e_j)≤ x$.
On définit de même les événements "$X$<$x$" ,  "$X≥x$"  et   "$X$>$x$"

La loi de probabilité de X est la probabilité qui, à toute valeur $x$ prise par X, associe la probabilité $p(X=x)$.

Exemple

Jean lance un dé et propose à Marc le jeu suivant: Marc mise 2 euros. Il récupère sa mise augmentée de 2 euros si le 5 sort. Il récupère sa mise augmentée de 3 euros si le 6 sort.
Soit X la variable aléatoire égale au gain de Marc.

  1. Quelles sont les valeurs prises par X?
  2. Traduire par une phrase l'événement "$X=-2$".
  3. Le dé de Jean, truqué, vérifie:
    $p(1)=0,12$, $p(2)=0,16$, $p(3)=0,18$, $p(4)=0,1$, $p(5)=0,33$ et $p(6)=0,11$.
    Déterminer la loi de X.
    Déterminer la valeur de $p(X≥2)$.
Solution...
Corrigé
  1. X prend les valeurs $-2$, $2$ et $3$.
    On écrit: $X( Ω)=\{\,-2\,;\,2\,;\,3\,\}$

  2. L'événement "$X=-2$" signifie qu'un nombre inférieur ou égal à 4 est sorti.

  3. La loi de X est définie par:
    $p(X=3)=p(6)=0,11$,   $p(X=2)=p(5)=0,33$   et   $p(X=-2)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=0,56$.
    Remarquons que:   $p(X≥2)=p(X=2)+p(X=3)=0,44$.
Réduire...

Définition

La variable aléatoire , de valeurs $x_i$, de probabilités $p_i$ pour $i$ entre 1 et $n$, admet pour espérance le réel, noté $E(X)$, défini par $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n$.
$E(X)$ représente la valeur moyenne "espérée" de X sur un très grand nombre d'expériences.

Définitions

La variance de X, notée $V(X)$, est définie par $V(X)=p_1(x_1-E(x))^2+p_2(x_2-E(x))^2+...+p_n(x_n-E(x))^2$.

On remarque que $V(X)=E((X-E(X))^2)$.

L'écart-type, noté $σ(X)$ (ou $σ$), de la variable aléatoire X est défini par $σ(X)=√ {V(X)}$.
L'écart-type mesure la dispersion des valeurs prises par X autour de $E(X)$

Formule de König-Huygens

$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$

Exemple

Reprenons l'exemple précédent, où Jean lance un dé et où X est la variable aléatoire égale au gain de Marc.
On a vu que: $X( Ω)=\{\,-2\,;\,2\,;\,3\,\}$
$p(X=-2)=0,56$
$p(X=2)=0,33$
$p(X=3)=0,11$

  1. Calculer l'espérance $E(X)$. Interpréter la valeur trouvée.
  2. Déterminer $V(X)$.
  3. Déterminer l'écart-type $σ$ de la variable aléatoire X.
  4. Comparer ce jeu à un second jeu d'espérance $-0,14$ euros, et d'écart-type 8 euros.
Solution...
Corrigé
  1. $E(X)=0,56×(-2)+0,33×2+0,11×3=-0,13$.
    Sur un très grand nombre de parties, Marc peut espérer perdre, en moyenne, 0,13 euros par partie.

  2. $V(X)=0,56(-2-(-0,13))^2+0,33(2-(-0,13))^2+0,11(3-(-0,13))^2≈4,5$.
    Autre méthode: on applique la formule de König-Huygens
    $V(X)=0,56×(-2)^2+0,33×2^2+0,11×3^2-(-0,13)^2≈4,5$.

  3. $σ=√{V(X)}≈√{4,5}≈2,13$ (euros)  (L'écart-type a la même unité que l'espérance)

  4. Les espérances sont proches, donc les gains moyens par partie pour les deux jeux sont proches.
    Mais l'écart-type du second jeu est largement supérieur à celui du premier.
    Donc le risque (de gagner ou perdre) au second jeu est plus grand.
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