La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Produit scalaire dans le plan

L'ensemble des notions de ce chapitre concernent la géométrie plane.

I. Définitions et propriétés

Définition

Soit ${u}↖{→}$ un vecteur, et A et B deux points tels que ${u}↖{→}={AB}↖{→}$.
La norme de ${u}↖{→}$ est la distance AB.
Ainsi: $ ∥{u}↖{→} ∥=AB$.


Définition

produit scalaire et cosinus

Soient ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ deux vecteurs.
Le produit scalaire de ${u}↖{→}$ par ${v}↖{→}$, noté ${u}↖{→}.{v}↖{→}$, est le nombre réel défini de la façon suivante:
Si ${u}↖{→}={0}↖{→}$ ou si ${v}↖{→}={0}↖{→}$, alors ${u}↖{→}.{v}↖{→}=0$
Sinon, si A, B et C sont trois points tels que ${u}↖{→}={AB}↖{→}$ et ${v}↖{→}={AC}↖{→}$,
alors: ${u}↖{→}.{v}↖{→}=∥{u}↖{→} ∥×∥{v}↖{→} ∥×\cos {A}↖{⋏}\,\,\,\,$
Cette dernière égalité s'écrit alors: $${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=AB×AC×\cos {A}↖{⋏}\,\,\,\,$$

Exemple

Soient A, B et C trois points tels que $AB=5$, $AC=2$ et ${A}↖{⋏}={π}/{4}$ (en radians).
Calculer le produit scalaire ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}$

Solution...
Corrigé

On a:  ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=AB×AC×\cos {A}↖{⋏}$
Soit:  ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=5×2×\cos {π}/{4}=10×{√2}/{2}=$$5√2$

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Norme et carré scalaire

Soit ${u}↖{→}$ un vecteur. On a alors: $$ ∥{u}↖{→} ∥^2={u}↖{→}.{u}↖{→}\,\,\,\,\,$$

Propriété

Soient ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ deux vecteurs non nuls et colinéaires.
Si ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ ont même sens, alors $${u}↖{→}.{v}↖{→}=∥{u}↖{→} ∥×∥{v}↖{→} ∥\,\,\,$$
Si ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont de sens opposés, alors $${u}↖{→}.{v}↖{→}=-∥{u}↖{→} ∥×∥{v}↖{→} ∥\,\,\,$$

Exemple

Soient A, B et C trois points alignés tels que B appartienne au segment $[AC]$ et $AB=4$ et $BC=1$.
produit scalaire et points alignés
Calculer les produits scalaires suivants:
${AB}↖{→}.{AB}↖{→}$       ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}$       ${BC}↖{→}.{BA}↖{→}$

Solution...
Corrigé

${AB}↖{→}.{AB}↖{→}={∥{AB}↖{→} ∥}^2=AB^2=4^2=$$16$

Par ailleurs, comme B appartient au segment $[AC]$, on a: $AC=AB+BC=4+1=5$
et ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont de même sens.
Donc: ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=AB×AC=4×5=$$20$

De même, ${BC}↖{→}$ et ${BA}↖{→}$ sont de sens opposés.
Donc: ${BC}↖{→}.{BA}↖{→}=-BC×BA=-1×4=$$-4$

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Propriétés

Soit ${u}↖{→}$, ${v}↖{→}$ et ${w}↖{→}$ trois vecteurs et $λ$ un réel.
Propriété de symétrie:    ${u}↖{→}.{v}↖{→}={v}↖{→}.{u}↖{→}$
Propriétés de linéarité:    $(λ{u}↖{→}).{v}↖{→}=λ×({u}↖{→}.{v}↖{→})$            ${u}↖{→}.({v}↖{→}+{w}↖{→})={u}↖{→}.{v}↖{→}+{u}↖{→}.{w}↖{→}$

Exemple

On sait que ${AD}↖{→}.{AB}↖{→}=5$
On pose: $r=(6{AB}↖{→}).{AC}↖{→}-(2{DC}↖{→}).(3{AB}↖{→})$. Calculer $r$.

Solution...
Corrigé

On a: $r=6×({AB}↖{→}.{AC}↖{→})-6×({DC}↖{→}.{AB}↖{→})$
Donc: $r=(6{AB}↖{→}).({AC}↖{→}-{DC}↖{→})=(6{AB}↖{→}).({AC}↖{→}+{CD}↖{→})$
Donc: $r=(6{AB}↖{→}).({AD}↖{→})$ (d'après la relation de Chasles)
Donc: $r=6×({AB}↖{→}.{AD}↖{→})$
Soit: $r=6×5$
Soit: $r=30$

Dans ce calcul, de nombreuses parenthèses sont superflues. Elles seront souvent omises par la suite...
Par exemple, on écrira: $r=6{AB}↖{→}.{AC}↖{→}-2{DC}↖{→}.3{AB}↖{→}$

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Propriété     Produit scalaire et projeté orthogonal

produit scalaire et projeté orthogonal

Soient A et B deux points distincts.
Soit C' le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB),
Si ${AB}↖{→}$ et ${AC'}↖{→}$ ont même sens, alors $${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=AB×AC'\,\,\,$$
Si ${AB}↖{→}$ et ${AC'}↖{→}$ sont de sens opposés, alors $${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=-AB×AC'\,\,\,$$
Si ${AC'}↖{→}={0}↖{→}$, alors $${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=0\,\,\,$$

Exemple

Soit ABC un triangle. Soit H le pied de la hauteur issue de C.
Calculer ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}$ si $AH=5$, $AB=3$ et B appartient au segment [AH].

Solution...
Corrigé

H est le pied de la hauteur issue de C. Or B appartient au segment [AH]. Donc ${AH}↖{→}$ et ${AB}↖{→}$ sont de même sens.
On a donc: ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=AB×AH$
Donc: ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}=3×5=15$
produit scalaire et hauteur

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Définition et propriété

produit scalaire et projeté orthogonal

Soient A et B deux points distincts.
Soit C' le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB),
Soit D' le projeté orthogonal du point D sur la droite (AB),
On dit alors que le vecteur ${C'D'}↖{→}$ est le projeté orthogonal du vecteur ${CD}↖{→}$ sur le vecteur ${AB}↖{→}$
et on obtient: $${AB}↖{→}.{CD}↖{→}={AB}↖{→}.{C'D'}↖{→}$$

Exemple

Soit ABCD un trapèze rectangle en A et en D tel que $AD=4$, $CD=2$ et $BC={8}/{√{3}}$
Déterminer ${DA}↖{→}.{CB}↖{→}$.

produit scalaire et projeté orthogonal
Solution...
Corrigé

Comme ABCD est un trapèze rectangle en A et en D, il est clair que A et D sont les projetés orthogonaux respectifs de B et C sur la droite (AD).
On obtient alors: ${DA}↖{→}.{CB}↖{→}={DA}↖{→}.{DA}↖{→}$
Soit: ${DA}↖{→}.{CB}↖{→}=DA^2=4^2=16$
Les hypothèses $CD=2$ et $BC={8}/{√{3}}$ sont inutiles pour faire le calcul.

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Identités de polarisation     Norme et produit scalaire

Soient ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ deux vecteurs.

${u}↖{→}.{v}↖{→}={1}/{2}\({∥{u}↖{→}+{v}↖{→}∥}^2-{∥{u}↖{→}∥}^2-{∥{v}↖{→}∥}^2\)\,\,\,\,\,\,\,\,$ produit scalaire et normes

${u}↖{→}.{v}↖{→}={1}/{2}\({∥{u}↖{→}∥}^2+{∥{v}↖{→}∥}^2-{∥{u}↖{→}-{v}↖{→}∥}^2\)\,\,\,\,\,\,\,\,$ produit scalaire et normes

${u}↖{→}.{v}↖{→}={1}/{4}\({{∥{u}↖{→}+{v}↖{→}∥}^2-{∥{u}↖{→}-{v}↖{→}∥}^2\)\,\,\,\,\,\,\,\,$

Applications
Si ABDC est un parallélogramme tel que ${u}↖{→}={AB}↖{→}$ et ${v}↖{→}={AC}↖{→}$,
alors la première identité devient:
$${AB}↖{→}.{AC}↖{→}={1}/{2}(AD^2-AB^2-AC^2)\,\,\,\,\,$$

produit scalaire et normes

Si A, B et C sont trois points tels que ${u}↖{→}={AB}↖{→}$ et ${v}↖{→}={AC}↖{→}$,
alors la seconde identité devient:
$${AB}↖{→}.{AC}↖{→}={1}/{2}(AB^2+AC^2-BC^2)\,\,\,\,\,$$

produit scalaire et normes
Exemple

Soit ABC un triangle tel que $AB=2$, $BC=3$ et $CA=4$
Calculer ${AB}↖{→}.{AC}↖{→}$

Solution...
Corrigé

${AB}↖{→}.{AC}↖{→}={1}/{2}(AB^2+AC^2-BC^2)={1}/{2}(2^2+4^2-3^2)={1}/{2}(4+16-9)=$$5,5$

Réduire...

La formule qui suit s'obtient très facilement à l'aide de la seconde identité de polarisation.

Formule d'Al-Kashi

produit scalaire et formule d'Al-Kashi

Soit A, B et C trois poins distincts.
On pose: $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$.
La formule d'Al-Kashi est alors la suivante:
$a^2=b^2+c^2-2bc×\cos {A}↖{⋏}$    

Cette formule s'appelle aussi Théorème de Pythagore généralisé.

Exemple

Soit ABC un triangle tel que $AB=2$, $BC=3$ et $CA=4$
Déterminer une mesure de l'angle géométrique ${A}↖{⋏}$ (arrondie au degré près).

Solution...
Corrigé

D'après la formule d'Al-Kashi, on a:
$a^2=b^2+c^2-2bc×\cos {A}↖{⋏}$
Soit: $3^2=4^2+2^2-2×4×2×\cos {A}↖{⋏}$
Et par là: $\cos {A}↖{⋏}={9-16-4}/{-16}={11}/{16}=0,6875$
A l'aide de la calculatrice, on obtient alors une mesure de $ {A}↖{⋏}$, et on trouve: ${A}↖{⋏}≈47°$ (arrondie au degré)

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Propriété     Produit scalaire et coordonnées

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,{i}↖{→},{j}↖{→})$.
Soit ${u}↖{→}(x\,;\,y)$ et ${v}↖{→}(x'\,;\,y')$ deux vecteurs.
alors: ${u}↖{→}.{v}↖{→}=xx'+yy'$

Propriété

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,{i}↖{→},{j}↖{→})$.
Si ${u}↖{→}$ a pour coordonnées $(x\,;\,y)$, alors $$ ∥{u}↖{→} ∥=√{x^2+y^2}\,\,\,$$

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,{i}↖{→},{j}↖{→})$.
Soit ${u}↖{→}(2\,;\,5)$ et ${v}↖{→}(-3\,;\6)$ deux vecteurs.
Quelle est la norme de ${u}↖{→}$?
Calculer ${u}↖{→}.{v}↖{→}$

Solution...
Corrigé

Le repère est orthonormé. Les calculs qui suivent sont donc valides.
$∥{u}↖{→} ∥=√{x^2+y^2}=√{2^2+5^2}=$$√{29}$
${u}↖{→}.{v}↖{→}=xx'+yy'=2×(-3)+5×6=$$24$

Réduire...

A retenir
Le produit scalaire peut s'exprimer sous 4 formes différentes: à l'aide des normes et d'un angle, en utilisant la projection orthogonale, à l'aide des normes uniquement, à l'aide des coordonnées.
Mais attention, la formule de calcul analytique du produit scalaire nécessite un repère orthonormal!
Il faut choisir la bonne formule en fonction du problème à résoudre...


II. Applications du produit scalaire

Définition

Deux vecteurs ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont orthogonaux
si et seulement si ${u}↖{→}.{v}↖{→}=0$.

Propriété

Soit $d$ une droite de vecteur directeur ${u}↖{→}$.
Soit $d'$ une droite de vecteur directeur ${v}↖{→}$.
$d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si ${u}↖{→}.{v}↖{→}=0$.

Exemple

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,{i}↖{→},{j}↖{→})$.
Soit $A(2\,;\,5)$, $B(1\,;\,3)$ et $C(8\,;\,0)$ trois points.
Les droites (OA) et (BC) sont-elles perpendiculaires?

Solution...
Corrigé

Le repère est orthonormé. Le calcul de produit scalaire qui suit est donc valide.
On obtient facilement: ${OA}↖{→}(2\,;\,5)$    et   ${BC}↖{→}(7\,;\,-3)$
${OA}↖{→}.{BC}↖{→}=xx'+yy'=2×7+5×(-3)=-1$
Donc ${OA}↖{→}.{BC}↖{→}$ n'est pas nul.
Donc les droites (OA) et (BC) ne sont pas perpendiculaires.

Réduire...

Théorème de la médiane

Soient A et B deux points, et soit I le milieu du segment [AB].
Pour tout point M du plan, on a l'égalité: ${MA}↖{→}.{MB}↖{→}=MI^2-{1}/{4}AB^2$

produit scalaire et médiane

Exemple

Soient A et B deux points tels que AB=3, et soit I le milieu du segment [AB].
Déterminer l'ensemble $ E$ des points M du plan tels que:
${MA}↖{→}.{MB}↖{→}=11,75$

Solution...
Corrigé

I est le milieu de [AB].
Donc, d'après le théorème de la médiane, on a:
${MA}↖{→}.{MB}↖{→}=11,75$ $ ⇔$ $MI^2-{1}/{4}AB^2=11,75$ $ ⇔$ $MI^2-{1}/{4}3^2=11,75$
Soit: ${MA}↖{→}.{MB}↖{→}=11,75$ $ ⇔$ $MI^2={9}/{4}+11,75=14$
Soit: ${MA}↖{→}.{MB}↖{→}=11,75$ $ ⇔$ $MI=√{14}$     (car MI est positif)
Donc l'ensemble $ E$ est le cercle de centre I de rayon $√{14}$.

Réduire...

La propriété qui suit s'obtient très facilement à l'aide du théorème de la médiane.

Cercle et produit scalaire

Soient A et B deux points distincts.
L'ensemble des points M du plan tels que ${MA}↖{→}.{MB}↖{→}=0$ est le cercle de diamètre [AB].

Le triangle AMB est rectangle en M si et seulement si M est sur le cercle de diamètre [AB], avec M distinct de A et de B.
produit scalaire et cercle de diamètre donné

Exemple

Soient E, F et G trois points tels que $EF=7$, $FG=11$ et $EG=√{170}$.
Montrer de 2 façons différentes que ${FE}↖{→}.{FG}↖{→}=0$
Que dire du point F?

Solution...
Corrigé

Méthode 1
On a: $EF^2+FG^2=7^2+11^2=170=EG^2$
Donc le triangle EFG est rectangle en F.
Donc ${FE}↖{→}.{FG}↖{→}=0$
Méthode 2
${FE}↖{→}.{FG}↖{→}={1}/{2}(FE^2+FG^2-EG^2)={1}/{2}(7^2+11^2-(√{170})^2)=0$

Comme ${FE}↖{→}.{FG}↖{→}=0$, le point F est sur le cercle de diamètre [EG].

Réduire...

Savoir faire
Quel est l'intérêt du produit scalaire dans le plan?
Il permet de traiter facilement beaucoup de problèmes où interviennent à la fois les angles (en particulier l'angle droit) et les distances.
Mais, pour chaque problème, il faut choisir la formule adaptée (qui utilise les normes et un angle, ou la projection orthogonale, ou les normes uniquement, ou les coordonnées)

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