Fonction valeur absolue
Exercice 1
Soit $f(x)=$|$2x-3$|$+x$
Ecrire $f(x)$ sans utiliser de valeur absolue en vous plaçant sur des intervalles convenables.
Soit $g(x)=√{(-2x+4)^2}$
Ecrire $g(x)$ sans utiliser de racine carrée ni de valeur absolue en vous plaçant sur des intervalles convenables.
Corrigé
On va utiliser la propriété: si $z$ est positif, alors |$z$|$=z$ , et si $z$ est négatif, alors |$z$|$=-z$.
On cherche le signe de $2x-3$.
C'est une fonction affine, qui s'annule pour $x=1,5$. Comme son coefficient directeur $2$ est strictement positif, elle est strictement négative pour $x<1,5$, et
strictement positive pour $x>1,5$.
Donc: sur $]-\∞;1,5]$, on a: $f(x)=-(2x-3)+x=-2x+3+x=-x+3$.
Sur $[1,5;+\∞[$, on a: $f(x)=2x-3+x=3x-3$.
On a: $g(x)=√{(-2x+4)^2}=$|$-2x+4$|.
On cherche le signe de $-2x+4$.
C'est une fonction affine, qui s'annule pour $x=2$. Comme son coefficient directeur $-2$ est strictement négatif, elle est strictement positive pour $x<2$, et
strictement négative pour $x>2$.
Donc: sur $]-\∞;2]$, on a: $g(x)=-2x+4$.
Sur $[2;+\∞[$, on a: $g(x)=-(-2x+4)=2x-4$.