La Spécialité Maths en Première

Corrigé

Les propriétés liant valeur absolue et inéquation étant à la limite du programme, nous ne les utiliserons pas.
a. Dans cette inéquation, le domaine d'étude est $\mathit{ℝ}$.

Nous allons résoudre l'inéquation en nous plaçant sur des intervalles qui nous permettent de travailler sans valeur absolue
On obtient facilement: $5\mathit{x}-2\ge 0$ $\iff$ $\mathit{x}\ge 0,4$.
On résout tout d'abord sur $]-\mathit{\infty };0,4]$.
Sur cet intervalle: $\left|5\mathit{x}-2\right|=-\left(5\mathit{x}-2\right)=-5\mathit{x}+2$.
On a donc: $\iff$ $\iff$ $\iff$
Soit: $\iff$ $\mathit{x}>\frac{0}{-10}$ $\iff$ $\mathit{x}>0$.
Donc sur l'intervalle $]-\mathit{\infty };0,4]$, $\mathrm{S}=]0;0,4]$

On résout ensuite sur $[0,4;+\mathit{\infty }[$.
Sur cet intervalle: $\left|5\mathit{x}-2\right|=5\mathit{x}-2$.
On a donc: $\iff$ $\iff$ $\iff$
Soit: $\iff$ $\iff$ .
Donc sur l'intervalle $[0,4;+\mathit{\infty }[$, $\mathrm{S}=[0,4;0,8[$

Finalement, on réunit les 2 ensembles de solutions, et on obtient: $\mathrm{S}=]0;0,8[$.

b. Dans cette inéquation, le domaine d'étude est $\mathit{ℝ}$.
Nous procédons comme au a.. Le signe de $\mathit{x}-1$ n'a aucune importance. Seul le signe de $\mathit{x}-3$ est utile.
On obtient facilement: $\mathit{x}-3\ge 0$ $\iff$ $\mathit{x}\ge 3$.
On résout tout d'abord sur $]-\mathit{\infty };3]$.
Sur cet intervalle: $\left|\mathit{x}-3\right|=-\mathit{x}+3$.
On a donc: $\left|\mathit{x}-3\right|>\mathit{x}-1$ $\iff$ $-\mathit{x}+3>\mathit{x}-1$ $\iff$ $-2\mathit{x}>-4$ $\iff$
Donc sur l'intervalle $]-\mathit{\infty };3]$, $\mathrm{S}=]-\mathit{\infty };2[$
On résout ensuite sur $[3;+\mathit{\infty }[$.
Sur cet intervalle: $\left|\mathit{x}-3\right|=\mathit{x}-3$.
On a donc: $\left|\mathit{x}-3\right|>\mathit{x}-1$ $\iff$ $\mathit{x}-3>\mathit{x}-1$ $\iff$ $-3>-1$
L'inégalité est absurde.
Donc sur l'intervalle $[3;+\mathit{\infty }[$, $\mathrm{S}=\mathit{\varnothing }$
Finalement, on réunit les 2 ensembles de solutions, et on obtient: $\mathrm{S}=]-\mathit{\infty };2[$.