La Spécialité Maths en Première

Corrigé

Les propriétés liant valeur absolue et inéquation étant à la limite du programme, nous ne les utiliserons pas.
a. Dans cette inéquation, le domaine d'étude est $ℝ$.

Nous allons résoudre l'inéquation en nous plaçant sur des intervalles qui nous permettent de travailler sans valeur absolue
On obtient facilement: $5x-2≥0$ $⇔$ $x≥0,4$.
On résout tout d'abord sur $]-∞;0,4]$.
Sur cet intervalle: $|5x-2|=-(5x-2)=-5x+2$.
On a donc: $2|5x-2|-4<0$ $⇔$ $2(-5x+2)-4<0$ $⇔$ $-10x+4-4<0$ $⇔$ $-10x<0$
Soit: $2|5x-2|-4<0$ $⇔$ $x>{0}/{-10}$ $⇔$ $x>0$.
Donc sur l'intervalle $]-∞;0,4]$, $\S=]0;0,4]$

On résout ensuite sur $[0,4;+∞[$.
Sur cet intervalle: $|5x-2|=5x-2$.
On a donc: $2|5x-2|-4<0$ $⇔$ $2(5x-2)-4<0$ $⇔$ $10x-4-4<0$ $⇔$ $10x<8$
Soit: $2|5x-2|-4<0$ $⇔$ $x<{8}/{10}$ $⇔$ $x<0,8$.
Donc sur l'intervalle $[0,4;+∞[$, $\S=[0,4;0,8[$

Finalement, on réunit les 2 ensembles de solutions, et on obtient: $\S=]0;0,8[$.

b. Dans cette inéquation, le domaine d'étude est $ℝ$.
Nous procédons comme au a.. Le signe de $x-1$ n'a aucune importance. Seul le signe de $x-3$ est utile.
On obtient facilement: $x-3≥0$ $⇔$ $x≥3$.
On résout tout d'abord sur $]-∞;3]$.
Sur cet intervalle: $|x-3|=-x+3$.
On a donc: $|x-3|>x-1$ $⇔$ $-x+3>x-1$ $⇔$ $-2x>-4$ $⇔$ $x<2$
Donc sur l'intervalle $]-∞;3]$, $\S= ]-∞;2[$
On résout ensuite sur $[3;+∞[$.
Sur cet intervalle: $|x-3|=x-3$.
On a donc: $|x-3|>x-1$ $⇔$ $x-3>x-1$ $⇔$ $-3>-1$
L'inégalité est absurde.
Donc sur l'intervalle $[3;+∞[$, $\S=∅$
Finalement, on réunit les 2 ensembles de solutions, et on obtient: $\S=]-∞;2[$.