La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Géométrie repérée

Exercice 1

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.
Soient $A(-2;4)$, $B(2;-1)$ et $C(4;0)$ trois points.

  1. Déterminer les coordonnées du vecteur ${BC}↖{→}$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC)
  3. Donner un vecteur ${n}↖{→}$, normal à cette droite (BC)
  4. Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
    Déterminer une une équation cartésienne de la droite (AH).
  5. Déterminer les coordonnées du point H.
  6. Montrer que la droite $d$ d'équation $3x-2y-8=0$ est la hauteur du triangle ABC issue de B.
  7. Déterminer les coordonnées de K, orthocentre du triangle ABC.
Solution...
Corrigé

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.
Soient $A(-2;4)$, $B(2;-1)$ et $C(4;0)$ trois points.

  1. On a: ${BC}↖{→}(x_C-x_B;y_C-y_B)=(4-2;0+1)=(2;1)$
  2. La droite (BC) admet ${BC}↖{→}$ comme vecteur directeur.
    Or ${BC}↖{→}(2;1)$
    Donc la droite (BC) admet une équation cartésienne du type: $-1x+2y+c=0$.
    Or cette droite passe par $C(4;0)$.
    Donc: $-1×4+2×0+c=0$.
    Et par là: $c=4$
    Donc une équation cartésienne de la droite (BC) est $-x+2y+4=0$
    A retenir: une droite de vecteur directeur ${u}↖{→}(α; β )$ admet une équation cartésienne du type: $-βx+αy+c=0$.

  3. (BC) a pour équation cartésienne $-x+2y+4=0$
    Par conséquent, un vecteur normal à cette droite (BC) est, par exemple, le vecteur ${n}↖{→}(-1;2)$
    A retenir: une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet pour vecteur normal ${n}↖{→}(a; b )$.

  4. Le point H est le projeté orthogonal de A sur (BC), donc le pied de la hauteur du triangle ABC issue de A.
    Donc (AH) est la hauteur de ABC issue de A.
    Et comme ${n}↖{→}(-1;2)$ est normal à (BC), la droite (AH) admet pour vecteur directeur ${n}↖{→}(-1;2)$.
    Donc cette droite (AH) admet une équation cartésienne du type: $-2x-1y+c=0$.
    Or cette droite passe par $A(-2;4)$.
    Donc: $-2×(-2)-1×4+c=0$.
    Et par là: $c=0$
    Donc une équation cartésienne de la droite (AH) est $-2x-y=0$

  5. Les coordonnées du point H vérifient à la fois l'équation de (BC) et celle de (AH)
    Soit: $\{\table -x+2y+4=0\;\;\;(L_1); -2x-y=0\;\;\;(L_2)$
    Méthode 1: Nous allons procéder par combinaisons linéaires.
    $\{\table -x+2y+4=0\;\;\;(L_1); -2x-y=0\;\;\;(L_2)$ $⇔$ $\{\table -x+2y+4=0\;\;\; (L_1); -4x-2y=0\;\;\; (2L_2⇨L_2)$
              $⇔$ $\{\table -x+2y+4=0\;\;\; (L_1); -x+2y+4-4x-2y=0+0\;\;\; (L_1+L_2 ⇨L_2)$
             $⇔$ $\{\table -x+2y+4=0\;\;\; (L_1); -5x+4=0 \;\;\;(L_2)$
              $⇔$ $\{\table -x+2y+4=0; x={-4}/{-5}={4}/{5} $
              $⇔$ $\{\table -{4}/{5}+2y+4=0; x={4}/{5} $
              $⇔$ $\{\table 2y=-{16}/{5} ; x={4}/{5} $
              $⇔$ $\{\table y=-{8}/{5} ; x={4}/{5} $
    Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(0,8\,$;$\,-1,6)$.

    Méthode 2: Nous allons procéder par substitutions.
    $\{\table -x+2y+4=0; -2x-y=0$ $⇔$ $\{\table -x+2y+4=0; y=-2x$
              $⇔$ $\{\table -x-4x+4=0; y=-2x$
              $⇔$ $\{\table x={-4}/{-5}={4}/{5}; y=2×{4}/{5}={8}/{5}$
           Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(0,8\,$;$\,-1,6)$.
    Finalement, H a pour coordonnées $(0,8\,$;$\,-1,6)$.
    La figure ci-dessous semble confirmer ce résultat.
    projeté et coordonnées

  6. Pour montrer que la droite $d$ est la hauteur du triangle ABC issue de B, il suffit de montrer qu'elle passe par B et qu'elle est perpendiculaire à (AC).
    Or, comme son équation est $3x-2y-8=0$, elle admet pour vecteur normal ${u}↖{→}(3;-2)$
    Par ailleurs, on a: ${AC}↖{→}(x_C-x_A;y_C-y_A)=(4+2;0-4)=(6;-4)$
    Il est donc clair que ${AC}↖{→}=2{u}↖{→}$, et par là, ${AC}↖{→}$ est également un vecteur normal à $d$.
    La droite $d$ est donc bien perpendiculaire à (AC).
    Il reste à montrer qu'elle passe par B.
    C'est immédiat car on a: $3x_B-2yB-8=3×2-2×(-1)-8=0$.
    Finalement, la droite $d$ est bien la hauteur du triangle ABC issue de B

  7. Le point K, orthocentre du triangle ABC, est à l'intersection de ses hauteurs, en particulier de (AH) et de $d$.
    Les coordonnées du point K vérifient à la fois l'équation de (AH) et celle de $d$
    Soit: $\{\table -2x-y=0\;\;\;(L_1); 3x-2y-8=0\;\;\;(L_2)$
    Nous allons procéder par combinaisons linéaires.
    $\{\table -2x-y=0\;\;\;(L_1); 3x-2y-8=0\;\;\;(L_2)$ $⇔$ $\{\table 4x+2y=0\;\;\; (-2L_1⇨L_1); 3x-2y-8=0\;\;\; (L_2)$
             $⇔$ $\{\table 4x+2y=0\;\;\; (L_1); 4x+2y+3x-2y-8=0+0 \;\;\;(L_1+L_2 ⇨L_2)$
              $⇔$ $\{\table 4x+2y=0; x={8}/{7} $
              $⇔$ $\{\table 4×{8}/{7}+2y=0; x={8}/{7} $
              $⇔$ $\{\table 2y=-{32}/{7} ; x={8}/{7} $
              $⇔$ $\{\table y=-{16}/{7} ; x={8}/{7} $
    Donc la solution du système est le couple $(x;y)=({8}/{7}\,$;$\,-{16}/{7})$.
    Le point K a donc pour coordonnées $({8}/{7}\,$;$\,-{16}/{7})$
Réduire...

Copyright 2013 - maths-bac.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.