La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Géométrie repérée

Exercice 2

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.
Soient  $A(-2;4)$  et  $B(4;0)$  deux points.

  1. Quel est l'ensemble $\C_1$ des points dont les coordonnées vérifient l'équation $(x-1)^2+(y-2)^2=13$
  2. Déterminer une équation du cercle $\C_2$ de diamètre [AB].
  3. Que dire de $\C_1$ et $\C_2$?
  4. Déterminer les coordonnées du milieu K de [AB]
  5. Soit $M(0,8\,$;$\,-1,6)$. Montrer que M est sur $\C_1$.
  6. Que dire du triangle ABM?
  7. Déterminer les coordonnées des points U et V appartenant à l'intersection de $\C_1$ et de la droite $d$ d'équation $y=3$
Solution...
Corrigé
équation de cercle

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.
Soient  $A(-2;4)$  et  $B(4;0)$  deux points.

  1. L'ensemble $\C_1$ des points dont les coordonnées vérifient l'équation $(x-1)^2+(y-2)^2=13$ est le cercle de centre $E(1;2)$ et de rayon $√{13}$.

  2. $M(x;y)$ est sur $\C_2$ $⇔$ ${AM}↖{→}.{BM}↖{→}=0 $
    Or ${AM}↖{→}(x+2;y-4)$ et ${BM}↖{→}(x-4;y)$
    Donc: $M(x;y)$ est sur $\C_2$ $⇔$ $(x+2)×(x-4)+(y-4)×y=0$
    Appelons (2) l'équation $(x+2)×(x-4)+(y-4)×y=0$
    (2) est une équation du cercle $\C_2$.

  3. Reprenons l'équation du cercle $\C_2$.
    (2) $⇔$ $x^2-4x+2x-8+y^2-4y=0$
    (2) $⇔$ $x^2-2x+y^2-4y=8$
    Nous cherchons à faire apparaître les coordonnées du centre par la méthode de complétion au carré.
    (2) $⇔$ $x^2-2×x×1+1^2-1^2+y^2-2×y×2+2^2-2^2=8$
    (2) $⇔$ $(x-1)^2-1+(y-2)^2-4=8$
    (2) $⇔$ $(x-1)^2+(y-2)^2=13$
    On reconnaît l'équation du cercle $\C_1$.
    Par conséquent, $\C_1$ et $\C_2$ sont confondus.

  4. Les coordonnées du milieu K de [AB] sont:
    ${x_A+x_B}/{2}={-2+4}/{2}=1$  et  ${y_A+y_B}/{2}={4+0}/{2}=2$
    Donc on a:  $K(1;2)$
    Autre méthode:
    Comme $\C_2$, cercle de diamètre [AB], est confondu avec $\C_1$, cercle de centre $E(1;2)$ et de rayon $√{13}$, on en déduit que le milieu K de [AB] est confondu avec E.
    Donc on a:  $K(1;2)$

  5. Soit $M(0,8\,$;$\,-1,6)$.
    $\C_1$ a pour équation: $(x-1)^2+(y-2)^2=13$
    Or, on a: $(x_M-1)^2+(y_M-2)^2=(0,8-1)^2+-1,6-2)^2=13$
    Donc le point M est sur $\C_1$.

  6. Comme le point M est sur $\C_1$, cercle de diamètre [AB], et que ce point est distinct de A et de B, le triangle ABM est rectangle en M.

  7. Les coordonnées des points appartenant à l'intersection de $\C_1$ et de la droite $d$ d'équation $y=3$ sont telles que:
    $(x-1)^2+(y-2)^2=13$  et  $y=3$
    Soit: $(x-1)^2+(3-2)^2=13$  et  $y=3$
    Soit: $(x-1)^2=12$  et  $y=3$
    Soit: ($x-1=√{12}$  ou  $x-1=-√{12}$)  et  $y=3$
    Soit: ($x=1+√{12}≈4,5$ et  $y=3$)  ou  ($x=1-√{12}≈-2,5$ et  $y=3$)
    On obtient ainsi deux points
    $U(1+√{12};3)$   et  $V(1-√{12};3)$
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