La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Géométrie repérée

Exercice 2

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.
Soient  $\P$ la courbe d'équation $y=f(x)$, avec $f(x)=0,5(x^2-2x-3)$.

  1. Quelle est la nature de $\P$?

  2. Ecrire $f(x)$ sous forme canonique.

  3. Ecrire $f(x)$ sous forme factorisée.

  4. Soit $d_1$ la droite d'équation $x=2$.
    Déteminer les coordonnées du (ou des) point(s) où $d_1$ coupe $\P$.

  5. Soit $d_2$ la droite d'équation $y=3$.
    Déteminer les coordonnées du (ou des) point(s) où $d_2$ coupe $\P$.
Solution...
Corrigé

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.

  1. On a: $f(x)=0,5(x^2-2x-3)= 0,5x^2-x-1,5$.
    $f$ est donc un trinôme du second degré.
    Par conséquent, $\P$ est une parabole.

  2. Nous cherchons la forme canonique par la méthode de complétion au carré.
    On a: $x^2-2x-3=x^2-2x+1^2-1^2-3$
    Soit: $x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3$
    Soit: $x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
    Donc $f(x)=0,5((x-1)^2-4)$
    Soit: $f(x)=0,5(x-1)^2-2$
    On a bien écrit $f$ sous forme canonique.

  3. $f$ est un trinôme avec $a=0,5$, $b=-1$ et $c=-1,5$.
    $Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×0,5×(-1,5)=4$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-2}/{1}=-1$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+2}/{1}=3$.
    Donc l'écritue de $f$ sous forme factorisée est:
    $f(x)=0,5(x+1)(x-3)$

  4. Soit $d_1$ la droite d'équation $x=2$.
    Soit $M(x;y)$ un point de $d_1$ et $\P$.
    On a: $x=2$  et  $y=f(x)$
    Soit: $x=2$  et  $y=f(2)=-1,5$
    Il n'y a qu'un seul point convenable. Nommons le A.
    On a: $A(2;-1,5)$.
    intersection droite et parabole

  5. Soit $d_2$ la droite d'équation $y=3$.
    Soit $M(x;y)$ un point de $d_2$ et $\P$.
    On a: $y=3$  et  $y=f(x)$
    Soit: $y=3$  et  $3=0,5(x-1)^2-2$
    Soit: $y=3$  et  ${3+2}/{0,5}=(x-1)^2$
    Soit: $y=3$  et  ($√{10}=x-1$ ou $-√{10}=x-1$)
    Soit: ($y=3$ et $√{10}+1=x$)  ou  ($y=3$ et $-√{10}+1=x$)
    Il y a deux points convenables. Nommons les E et F.
    On a par exemple:  $E(1-√{10};3)$  et  $F(1+√{10};3)$.
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