Géométrie repérée
Exercice 4
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,I,J)$.
Soit $k$ un nombre réel.
Soit $A(2;4)$ et ${n}↖{→}(5;k)$.
- Montrer que la droite $d$ passant par A et de vecteur normal ${n}↖{→}$ admet pour équation cartésienne: $5x+ky-4k-10=0$
- Déterminer la valeur de $k$ pour que la droite $d$ passe par le point $C(6,5;1)$.
- On suppose que $k=7,5$.
Soit $d'$ la droite d'équation $y=-0,7x+9$.
La droite $d'$ est-elle parallèle à la droite $d$?
Corrigé
- $M(x;y)∈d$ si et seulement si ${AM}↖{→}(x-2;y-4)$ et ${n}↖{→}(5;k)$ sont orthogonaux
$M(x;y)∈d$ si et seulement si $(x-2)×5+(y-4)×k=0$
$M(x;y)∈d$ si et seulement si $5x-10+ky-4k=0$
$M(x;y)∈d$ si et seulement si $5x+ky-4k-10=0$
Donc $d$ admet pour équation cartésienne: $5x+ky-4k-10=0$ - $d$ passe par le point $C(6,5;1)$ si et seulement si $5x_C+ky_C-4k-10=0$
Soit: $5×6,5+k×1-4k-10=0$
Soit: $-3k+22,5=0$
Soit: $k={22,5}/{3}$
Soit: $k=7,5$
$d$ passe par le point $C$ si et seulement si $k=7,5$ - Dans le plan, deux droites sont parallèles si et seulement si un vecteur normal de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
On suppose que $k=7,5$. Alors ${n}↖{→}$ a pour coordonnées $(5;7,5)$.
Ce vecteur est un vecteur normal à $d$.
Or la droite $d'$ d'équation $y=-0,7x+9$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(1;-0,7)$
On calcule: $xx'+yy'=5×1+7,5×(-0,7)=5-5,25=-0,25$
On a: $xx'+yy'≠0$
Donc les vecteurs ${n}↖{→}$ et ${u}↖{→}$ ne sont pas orthogonaux.
Donc les droites ne sont pas parallèles.
Autre méthode: $y=-0,7x+9$ $ ⇔$ $0,7x+y-9=0$.
Donc $d$ a pour équation cartésienne: $0,7x+y-9=0$.
Or $(AB)$ a pour équation cartésienne: $5x+7,5y-40=0$ (pour $k=7,5$).
On calcule: $ab'-a'b=0,7×7,5-5×1=5,25-5=0,25$
On a: $ab'-a'b≠0$
Donc les droites ne sont pas parallèles.