La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Dérivation

Exercice 2

Dériver (inutile de préciser les ensembles de définition)

  • $f(x)=-{5}/{√{x}}-{3x}/{4}+1$
  • $g(x)=√{x}+{1}/{x^2+1}$
  • $h(x)=(2x+7)√{x}$
  • $k(x)={9x-3}/{x^2+x}$
  • $l(x)=√{9x-3}$

Solution...
Corrigé

  • Dérivons $f(x)=-{5}/{√{x}}-{3x}/{4}+1$
    On a: $f(x)=-5{1}/{√{x}}-{3}/{4}x+1$.
    On pose: $k=-5$, $v=√{x}$.
    Donc: $v'={1}/{2√{x}}$.
    Ici: $f=k{1}/{v}-{3}/{4}x+1$ et donc $f\,'=k{-v'}/{v^2}-{3}/{4}$.
    Donc: $f\,'(x)=-5{-{1}/{2√{x}}}/{x}-{3}/{4}={5}/{2x√{x}}-{3}/{4}$.
  • Dérivons $g(x)=√{x}+{1}/{x^2+1}$
    On pose: $v=x^2+1$. Donc: $v'=2x$.
    Ici: $g=√{x}+{1}/{v}$ et donc $g'={1}/{2√{x}}+{-v'}/{v^2}$.
    Donc: $g'(x)={1}/{2√{x}}+{-2x}/{(x^2+1)^2}={1}/{2√{x}}-{2x}/{(x^2+1)^2}$.
  • Dérivons $h(x)=(2x+7)√{x}$
    On pose: $u=2x+7$ et $v=√{x}$.
    Donc: $u'=2$ et $v'={1}/{2√{x}}$.
    Ici: $h=uv$ et donc $h'=u'v+uv'$.
    Donc: $h'(x)=2√{x}+(2x+7){1}/{2√{x}}=2√{x}+(2x+7)/{2√{x}}$.
  • Dérivons $k(x)={9x-3}/{x^2+x}$
    On pose: $u=9x-3$ et $v=x^2+x$.
    Donc: $u'=9$ et $v'=2x+1$.
    Ici: $k={u}/{v}$ et donc $k'={u'v-uv'}/{v^2}$.
    Donc: $k'(x)={9(x^2+x)-(9x-3)(2x+1)}/{(x^2+x)^2}={9x^2+9x-18x^2-9x+6x+3}/{(x^2+x)^2}={-9x^2+6x+3}/{(x^2+x)^2}$.
  • Dérivons $l(x)=√{9x-3}$
    A retenir: la dérivée de $g(ax+b)$ est $ag'(ax+b)$
    On pose: $g(x)=√{x}$, et donc: $g'(x)={1}/{2√{x}}$.
    Ici: $l(x)=g(9x-3)$.
    Et par là: $l'(x)=9×g'(9x-3)$
    On obtient donc: $l'(x)=9×{1}/{2√{9x-3}}$
    Soit: $l'(x)={9}/{2√{9x-3}}$

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