Dérivation
Exercice 4
- Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2$.
Soit $a$ un réel fixé.
Soit $h$ un réel non nul.
Montrer que le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ vaut $2a+h$.
Montrer en utilisant la définition du nombre dérivé que $f\,'(a)$ existe et donner son expression.
- Soit $m$ la fonction définie par $m(x)=5x^2-2x$.
Soit $a$ un réel fixé.
Soit $h$ un réel non nul.
Montrer que le taux d'accroissement de $m$ entre $a$ et $a+h$ vaut $10a+5h-2$.
Montrer en utilisant la définition du nombre dérivé que $m\,'(a)$ existe et donner son expression.
- Soit $k$ la fonction définie par $k(x)={1}/{x}$.
Soit $a$ un réel fixé non nul.
Soit $h$ un réel non nul tel que $a+h$ soit de même signe que $a$.
Montrer que le taux d'accroissement de $k$ entre $a$ et $a+h$ vaut ${-1}/{a^2+ah}$.
Montrer en utilisant la définition du nombre dérivé que $k\,'(a)$ existe et donner son expression.
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=√{x}$.
Rappeler son ensemble de définition $\D_g$.
Soit $h$ un réel non nul tel que $4+h$ appartienne à $\D_g$.
Montrer que le taux d'accroissement de $g$ entre $4$ et $4+h$ vaut ${1}/{√{4+h}+2}$ (penser à utiliser une quantité conjuguée).
Montrer en utilisant la définition du nombre dérivé que $g\,'(4)$ existe et vaut ${1}/{4}$.
Corrigé
- Soit $r(h)$ le taux d'accroissement cherché.
On a: $r(h)={f(a+h)-f(a)}/{a+h-a}={(a+h)^2-a^2}/{h}={a^2+2ah+h^2-a^2}/{h}={2ah+a^2}/{h}$.
$r(h)={h(2a+h)}/{h}=2a+h$.
On détermine alors si $f\,'(a)$ existe.
C'est le cas si $\lim↙{h→0}r(h)$ existe, et on a alors $f\,'(a)=\lim↙{h→0}r(h)$
On a: $\lim↙{h→0}r(h)=2×a+0=2a$
Par conséquent, $f\,'(a)$ existe et vaut $2a$.
- Soit $r(h)$ le taux d'accroissement cherché.
On a: $r(h)={m(a+h)-m(a)}/{a+h-a}={5(a+h)^2-2(a+h)-(5a^2-2a)}/{h}$
$r(h)={5(a^2+2ah+h^2)-2a-2h-5a^2+2a}/{h}={5a^2+10ah+5h^2-2a-2h-5a^2+2a}/{h}={10ah+5h^2-2h}/{h}$
$r(h)={h(10a+5h-2)}/{h}=10a+5h-2$.
On détermine alors si $m\,'(a)$ existe.
C'est le cas si $\lim↙{h→0}r(h)$ existe, et on a alors $m\,'(a)=\lim↙{h→0}r(h)$
On a: $\lim↙{h→0}r(h)=10×a+5×0-2=10a-2$
Par conséquent, $m\,'(a)$ existe et vaut $10a-2$.
- Soit $r(h)$ le taux d'accroissement cherché.
On a: $r(h)={k(a+h)-k(a)}/{a+h-a}={{1}/{a+h}-{1}/{a}}/{h}={{a}/{a(a+h)}-{a+h}/{a(a+h)}}/{h}={{a-a-h}/{a(a+h)}}/{h}$.
$r(h)={{-h}/{a^2+ah}/{h}={-1}/{a^2+ah}$.
On détermine alors si $k\,'(a)$ existe.
C'est le cas si $\lim↙{h→0}r(h)$ existe, et on a alors $k\,'(a)=\lim↙{h→0}r(h)$
On a: $\lim↙{h→0}r(h)={-1}/{a^2+2×0}={-1}/{a^2}$
Par conséquent, $k\,'(a)$ existe et vaut ${-1}/{a^2}$.
-
Une expression sous un radical est positive.
On doit avoir $x≥0$. Donc $\D_g=[0,5;+\∞[$
Soit $r(h)$ le taux d'accroissement cherché.
On a: $r(h)={g(4+h)-g(4)}/{4+h-4}={√{4+h}-√{4}}/{h}={√{4+h}-2}/{h}$.
On multiplie dénominateur et numérateur par la quantité conjuguée de $√{4+h}-2$ qui est $√{4+h}+2$
$r(h)={(√{4+h}-2)(√{4+h}+2)}/{h(√{4+hh}+2)}={(√{4+h})^2-2^2)}/{h(√{4+h2h}+2)}={(4+h-4)}/{h(√{4+h}+2)}={h}/{h(√{4+h}+2)}={12}/{√{4+h}+2}$.
On détermine alors si $g\,'(5)$ existe.
C'est le cas si $\lim↙{h→0}r(h)$ existe, et on a alors $g\,'(5)=\lim↙{h→0}r(h)$
On a: $\lim↙{h→0}r(h)={1}/{√{4+0}+2}={1}/{√{4}+2}={1}/{4}$
Par conséquent, $g\,'(5)$ existe et vaut ${1}/{4}$.