La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Variables aléatoires

Exercice 3

Une société assure annuellement les téléviseurs d'une chaîne hôtelière de luxe. Chaque téléviseur est assuré pour 40 euros.
Le risque qu'un problème mineur survienne dans l'année est de $10\%$. Le coût du sinistre pour l'assureur est alors de 100 euros (en moyenne).
Le risque qu'un problème majeur survienne dans l'année est de $2\%$. Le coût du sinistre pour l'assureur est alors de 1000 euros (en moyenne).
Soit X la variable aléatoire donnant le gain algébrique annuel de l'assureur par contrat pour un téléviseur.
Les valeurs prises par X sont donc $40$, $-80$ et $-980$.

  1. Donner la loi de X.

  2. Combien l'assureur peut-il espérer gagner en moyenne par contrat?

  3. On considère le programme en Python ci-dessous.
    programme incomplet en Python simulant la v.a. X
    Expliquer comment fonctionne la boucle des lignes 7 à 10.
    Vérifier qu'après exécution de cette boucle, la liste intervalle est égale à [0 0.02 0.12 1]

  4. Compléter le programme précédent pour qu'il simule des valeurs prises par X pour un échantillon de $n$ contrats.

  5. On a complété le programme précédent en ajoutant les lignes 19 à 23.
    programme incomplet en Python simulant E(X)
    A quoi sert le programme ci-dessus?

  6. Faite fonctionner ce programme pour des grandes valeurs de n (par exemple n=10 000).
    Vers quelle valeur tend certainement la valeur de m?
Solution...
Corrigé
  1. On a: $X(Ω)=\{-80;-980;40\}$.
    On a alors:    $p(X=-80)=0,10$    et    $p(X=-980)=0,02$    et    $p(X=40)=1-0,10-0,02=0,88$.

  2. L'espérance de X vaut : $E(X)=0,10×(-80)+0,02×(-980)+0,88×40=7,60$.
    Donc, en moyenne, sur un grand nombre de contrats, l'assureur peut espérer gagner 7,60 euros par contrat.

  3. Fonctionnement de la boucle des lignes 7 à 10
    l est la longueur de la liste valeur; l vaut 3.
    k va donc varier de 0 à 2
    Pour k=0, on obtient:
    p=intervalle[0]=0
    p=p+proba[0]=0+0.02=0.02
    intervalle=[0 0.02]
    Pour k=1, on obtient:
    p=intervalle[1]=0.02
    p=p+proba[1]=0.02+0.10=0.12
    intervalle=[0 0.02 0.12]
    Pour k=2, on obtient:
    p=intervalle[2]=0.12
    p=p+proba[2]=0.12+0.88=1
    intervalle=[0 0.02 0.12 1]
    Après exécution de la boucle, la liste intervalle est bien égale à [0 0.02 0.12 1]

  4. Voici le programme complété pour qu'il simule des valeurs prises par X pour un échantillon de $n$ contrats.
    programme en Python simulant la v.a. X

  5. Le programme ci-dessous permet de déterminer la valeur moyenne de X pour un échantillon de $n$ contrats.
    programme en Python simulant E(X)

  6. Quand n devient grand, la probabilité que m soit loin de l'espérance de X, égale à 7,60, est de plus en plus faible. Cela se vérifie en faisant fonctionner ce le programme pour des grandes valeurs de n.
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