Fonction exponentielle
Exercice 1
On admet que $e^a=1,04$ avec $a≈0,0392$.
On admet que $e^b=1,5$ avec $b≈0,4055$.
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M. Bourricot place 1000 euros à la banque au taux annuel de $4%$ (à intérêts composés).
- Montrer que la suite ($u_n$) est géométrique. Donner sa raison et son premier terme.
- Montrer que $u_n=1\,000e^{an}$.
- Déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation (1) $1,04^n≥1,5$.
- Au bout de combien d'années le capital aura-t-il augmenté de moitié?
Les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque année.
Soit $u_n$ le capital disponible au bout de $n$ années.
Corrigé
- Chaque année, le capital est augmenté de $4%$.
Il est donc multiplié par le coefficient multiplicateur $1+4%=1,04$.
Donc, pour tout naturel $n$, on a: $u_{n+1}=1,04× u_n$.
Donc la suite ($u_n$) est géométrique de raison $q=1,04$.
Son premier terme est $u_0=1\,000$.
A retenir: pour montrer qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, il suffit de montrer que $u_{n+1}=q× u_n$ pour tout naturel $n$.
- La suite ($u_n$) est géométrique de raison $q=1,04$.
Et son premier terme est $u_0=1\,000$.
Par conséquent: $u_n=u_0 q^n=1\,000× 1,04^n$
Or $e^a=1,04$.
Donc on obtient: $u_n=1\,000×(e^{a})^{n}=1\,000e^{an}$. - Méthode 1
(1) $⇔$ $1,04^n≥1,5$ $⇔$ $(e^a)^n≥e^b$
Soit: (1) $⇔$ $e^{an}≥e^b$
Par stricte croissance de la fonction exponentielle, on obtient:
(1) $⇔$ $an≥b$
Et, comme $a$ est strictement positif:
(1) $⇔$ $n≥{b}/{a}$
Or ${b}/{a}≈10,3$
Donc la plus petite valeur de $n$ convenable est 11.
Méthode 2
On calcule les valeurs successives de $1,04^n$ jusqu'au moment où on obtient $1,04^n≥1,5$.
On obtient ainsi $1,04^n$<$1,5$ pour tout naturel $n$ jusqu'à 9.
Puis, comme $1,04^{10}≈1,48$ et $1,04^{11}≈1,54$, on en déduit que la plus petite valeur de $n$ convenable est 11.
- On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n≥1\,500$.
Nommons (E) cette inéquation.
(E) $⇔$ $1\,000× 1,04^n≥1\,500$
(E) $⇔$ $1,04^n≥1,5$
Donc, d'après le résultat du 3., la plus petite valeur de $n$ convenable est 11.
Le capital aura augmenté de moitié au bout de 11 années.