Fonction exponentielle
Exercice 2
Partie 1
Dériver $f$ dans chacun des cas suivants:
a. $f(x)=2e^{3x+1}$
b. $f(x)=30e^{-x}$
Partie 2
On considère la fonction $g$, définie par $g(x)=3e^{{1}/{3}x}-x^2+4x$,
et de courbe représentative $\C_g$.
Dériver $g$.
Montrer que $t$, tangente à $C_g$ en 3, a pour équation $y=(e-2)x+9$.
Montrer que $t$ passe par le point $M(-1;11-e)$.
Corrigé
Partie 1
On rappelle que la dérivée de $f(ax+b)$ est $af'(ax+b)$.
Par ailleurs, la dérivée de $e^x$ est $e^x$.
Et donc, la dérivée de $e^{ax+b}$ est $ae^{ax+b}$
a. $f(x)=2e^{3x+1}$
Donc $f'(x)=2×3×e^{3x+1}=6e^{3x+1}$
b. $f(x)=30e^{-x}$
Donc $f'(x)=30×(-1)×e^{-x}=-30e^{-x}$
Partie 2
La dérivée de $e^{{1}/{3}x}$ est ${1}/{3}×e^{{1}/{3}x}$.
Or $g(x)=3e^{{1}/{3}x}-x^2+4x$
Donc $g\,'(x)=3×{1}/{3}×e^{{1}/{3}x}-2x+4=e^{{1}/{3}x}-2x+4$.
$t$ a pour équation $y=g(x_0)+g\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=3$,
$g(x_0)=3e^{{1}/{3}3}-3^2+4×3=3e-9+12=3e^1+3=3e+3$.
$g\,'(x_0)=e^{{1}/{3}3}-2×3+4=e^1-6+4=e-2$.
D'où l'équation: $y=3e+3+(e-2)(x-3)$.
Soit: $y=3e+3+(e-2)x-(e-2)×3$.
Soit: $y=3e+3+(e-2)x-3e+6$.
Donc la tangente $t$ admet pour équation $y=(e-2)x+9$.
On a: $(e-2)x_M+9=(e-2)(-1)+9=-e+2+9=-e+11=y_M$.
Les coordonnées de M vérifient l'équation de $t$.
Donc la droite $t$ passe par M.