La Spécialité Maths en Première

Corrigé

La stricte croissance de la fonction exponentielle permet d'affirmer que:
$e^a=e^b$ $⇔$ $a=b$
$e^a$<$e^b$ $⇔$ $a$<$b$

1. Equation $e^{-2x+1}-e^4=0$
   $\D_E=\R$.
   $e^{-2x+1}-e^4=0⇔e^{-2x+1}=e^4⇔-2x+1=4⇔-2x=4-1⇔x={3}/{-2}=-1,5$.
   Donc $\S=\{-1,5\}$.


2. Equation $x^2-x=0$
   $\D_E=\R$.
   Le membre de gauche est un trinôme avec $c=0$. Il est donc judicieux de le factoriser!
   $x^2-x=0⇔x(x-1)=0⇔x=0$ ou $x-1=0⇔x=0$ ou $x=1$.
   Donc $\S=\{0;1\}$.
   
   Equation $e^{2x}-e^x=0$.
   Cette équation s'écrit: $(e^x)^2-e^x=0$. Donc, en posant $e^x=X$, cette équation devient: $X^2-X=0$.
   Or on vient de voir que cela équivaut à $X=0$ ou $X=1$.
   Par conséquent: $e^{2x}-e^x=0⇔e^x=0$ ou $e^x=1$.
   La première inégalité est impossible car une exponentielle est strictement positive.
   Donc: $e^{2x}-e^x=0⇔e^x=1$.
   Soit: $e^{2x}-e^x=0⇔e^x=e^0⇔x=0$.
   Donc $\S=\{0\}$.
   Une autre méthode, plus rapide, est ici possible.
   $e^{2x}-e^x=0⇔e^{2x}=e^x⇔2x=x⇔2x-x=0⇔x=0$.
   Donc: $\S=\{0\}$.


3. Inéquation $e^{-x+1}-1≤0$
   $\D_E=\R$.
   $e^{-x+1}-1≤0⇔e^{-x+1}≤1⇔e^{-x+1}≤e^0⇔-x+1≤0$
   Soit: $e^{-x+1}-1≤0⇔-x≤-1⇔x≥1$.
   Donc $\S=[1;+∞[$.


4. Inéquation $-10e^5≤-10e^{4x+1}$
   $\D_E=\R$.
   $-10e^5≤-10e^{4x+1}⇔e^5≥e^{4x+1}$
   On a divisé les 2 membres par $-10$ qui est strictement négatif, d'où le changement de sens!
   Soit: $-10e^5≤-10e^{4x+}⇔5≥4x+1$.
   Soit: $-10e^5≤-10e^{4x+1}⇔1≥x$.
   Donc $\S=]-∞;1]$.