La Spécialité Maths en Première

L'essentiel pour réussir ses devoirs

Fonctions exponentielles

Exercice 6

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;30]$ par $f(x)=5+xe^{-0,2x+1}$.
Soit $\C_f$ la courbe représentative de $f$.

  1. Soit $f\,'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Montrer que,pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, $f\,'(x)=(-0,2x+1)e^{-0,2x+1}$.
  2. En déduire le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;30]$.
  3. On considère l'équation $f(x)=7$ sur l'intervalle $[0; 5]$.
    Compte tenu du tableau de variation précédent, on admet que cette équation admet une solution unique $α$ dans l’intervalle $[0; 5]$.
    Déterminer par essais successifs une valeur de $α$ arrondie à 0,1 près.
  4. Montrer que la tangente $t$ à $\C_f$ en 10 admet pour équation $y=-{1}/{e}x+5+{20}/{e}$.
  5. Recopier et compléter le tableau suivant (où les valeurs seront arrondies à 0,1 près).
    tableau de valeur incomplet et exponentielle
    Puis tracer $\C_f$ et $t$.
    On placera également le point A de $\C_f$ d'abscisse 10 sur le graphique.
    On vérifiera graphiquement que la valeur $α$ semble convenir.

Solution...

Corrigé
  1. On pose: $u=x$ et $a=-0,2$ et $b=1$. On a donc: $u\,'=1$.
    Ici: $f=5+ue^{ax+b}$, et donc: $f\,'=0+u'×e^{ax+b}+u×a×e^{ax+b}$.
    Donc, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$, on a:
    $f\,'(x)=1×e^{-0,2x+1}+x×(-0,2)×e^{-0,2x+1}$.
    Soit: $f\,'(x)=e^{-0,2x+1}(1-x×0,2)$.
    Soit: $f\,'(x)=(-0,2x+1)e^{-0,2x+1}$.

  2. Une exponentielle est strictement positive. Donc $f\,'(x)$ est du signe de $-0,2x+1$.
    Cette fonction affine, de coefficient directeur -0,2 strictement négatif, s'annule pour $x={-1}/{-0,2}=5$.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;30]$.
    tableau de variation et exponentielle

  3. On cherche $α$ par essais successifs.
    Dans le tableau suivant, les valeurs sont arrondies à 0,01 près.
    tableau de valeur, équation et exponentielle
    Par conséquent, $α$ est compris entre 0,85 et 0,9.
    D'où $α≈0,9$ (arrondi à 0,1 près)

  4. La tangente $t$ à $\C_f$ en 10 admet pour équation $y=f(10)+f\,'(10)(x-10)$.
    Or on a: $f(10)=5+10e^{-1}=5+{10}/{e}$ et $f\,'(10)=(-0,2×10+1)e^{-0,2×10+1}=-e^{-1}=-{1}/{e}$.
    Donc $t$ a pour équation $y=5+{10}/{e}+(-{1}/{e})(x-10)$.
    Soit: $y=5+{10}/{e}-{1}/{e}x+{10}/{e}$.
    Soit: $y=-{1}/{e}x+5+{20}/{e}$.

  5. Tableau de valeurs:
    tableau de valeurs et exponentielle
    Ci-dessous le graphique demandé.
    On notera que $t$ passe par A et a pour ordonnée à l'origine $5+{20}/{e}≈12,4$.
    Par ailleurs, $α$ semble bien être l'unique antécédent de 7 sur l'intervalle $\[0;5\]$.
    courbe représentative de f et exponentielle

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