Suites
Exercice 10
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0={1}/{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1} = {3u_n}/{1+2u_n}$.
1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $0$<$u_n$<$1$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante en comparant $ {u_{n+1}}/{u_n} $ à $1$ pour tout entier naturel $n$..
3.a. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = {u_n}/{1 - u_n}$.
Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
3.b. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
3.c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = {3^n}/{3^n+1}$.
Corrigé
1.
$u_1 = {3 × u_0}/{ 1+ 2u_0} = {3 × {1}/{2}}/{ 1+2 {1}/{2}} = {3}/{4}$
et $u_2 = {3 × u_1}/{ 1 + 2u_1} = {3 × {3}/{4}}/{1 + 2 {3}/{4}} = {9}/{10}$.
2.
$ {u_{n+1}}/{u_n} = {{3u_n}/{1+2u_n}}/{u_n} = {3}/{1+2u_n}$
Or, on a admis que $u_n$<$1$, et par là: $1+2u_n$<$1+2×1$, soit: $1+2u_n$<$3$
Ce qui implique que: $ 1$<${3}/{1+2u_n}$ (l'inégalité ne change pas de sens car $1+2u_n$ > $0$).
On a donc montré que, pour tout entier naturel $n$, $1$<$ {u_{n+1}}/{u_n} $.
Et comme $0$<$u_n$, on obtient: ${u_n}$<$u_{n+1}$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est croissante.
3.a. Soit $n$ un entier naturel.
$ v_{n+1} = {u_{n+1}}/{1-u_{n+1}} = {{3u_n}/{1+2u_n}}/{1-{3u_n}/{1+2u_n}} = {{3u_n}/{1+2u_n}}/{{1+2u_n-3u_n}/{1+2u_n}} = {3u_n}/{1-u_n}=3{u_n}/{1-u_n} = 3 v_n$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a: $ v_{n+1} =3 v_n$.
Par conséquent, la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
3.b. D'après ce qui précède, on obtient: $v_n = v_0 3^n$.
Or $v_0={u_0}/{1 - u_0}={0,5}/{1 - 0,5}=1$.
Donc: $v_n=3^n$, pour tout entier naturel $n$.
3.c. Soit $n$ un entier naturel.
$ v_n = {u_n}/{1-u_n} ⇔ (1-u_n) v_n = u_n$
$ ⇔ v_n -u_n v_n = u_n ⇔ v_n = u_n + u_n v_n$
$ ⇔ v_n = u_n(1+v_n) ⇔ {v_n}/{1+v_n}=u_n ⇔ {3^n}/{3^n+1}=u_n $.
Finalement: $u_n = {3^n}/{3^n+1}$