La Spécialité Maths en Première

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Suites

Exercice 2

  1. Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=3n^2-2n-8$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 1.
    Montrons que $(w_n)$ est strictement croissante par 2 méthodes.
    Méthode 1: en déterminant le signe de $w_{n+1}-w_n$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 1.
    Méthode 2: en étudiant le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2-2x-8$ sur $[1;+∞[$ (cette méthode utilise la dérivation)
  2. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n5^n$ pour tout naturel $n$ non nul.
    Déterminer $u_1$ et $u_2$.
    Conjecturer le sens de variation de $(u_n)$, puis démontrer votre conjecture.
  3. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_5=0$ et $v_{n+1}=v_n+3n-12$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 5.
    Déterminer $v_6$ et $v_7$.
    Conjecturer le sens de variation de $(v_n)$, puis démontrer votre conjecture.
  4. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=(-2)^n+n^2$ pour tout naturel $n$.
    Démontrer que $(r_n)$ n'est pas monotone.
Solution...
Corrigé
  1. Méthode 1: Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1.
    $w_{n+1}-w_n=3(n+1)^2-2(n+1)-8-(3n^2-2n-8)$
    Soit: $w_{n+1}-w_n=3(n^2+2n+1)-2n-2-8-3n^2+2n+8$
    Soit: $w_{n+1}-w_n=3n^2+6n+3-2n-2-8-3n^2+2n+8$
    Soit: $w_{n+1}-w_n=6n+1$
    Or, puisque $n$ est supérieur ou égal à 1, il est clair que $6n+1$ est strictement positif.
    Donc, pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $w_{n+1}-w_n>0$, soit: $w_{n+1}>w_n$.
    Par conséquent, $(w_n)$ est strictement croissante.
    Méthode 2: La fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2-2x-8$ sur $ℝ$ est un trinôme du second degré.
    On détermine le signe de sa dérivée pour trouver son sens de variation.
    On a: $f'(x)=3×2x-2=6x-2$.
    $f'$ est une fonction affine qui est strictement positive pour $x$>${1}/{3}$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[{1}/{3};+∞[$.
    En particulier, $f$ est strictement croissante sur $[1;+∞[$.
    Or $(w_n)$ est définie par la relation explicite $w_n=f(n)$ pour tout naturel $n≥1$.
    Donc cette suite $(w_n)$ est également strictement croissante.

  2. $u_1=1×5^1=1×5=5$ et $u_2=2×5^2=2×25=50$.
    Conjecture: $(u_n)$ est strictement croissante.
    Démonstration: La méthode 2 de la question 1 est à éviter. En effet: $(u_n)$ est définie par la relation explicite $u_n=n5^n$ pour tout naturel $n$ non nul, mais il est difficile d'étudier le sens de variation de la fonction $x5^x$.
    Soit $n$ un entier naturel non nul. On calcule:
    $u_{n+1}-u_n=(n+1)5^{n+1}-n5^n=n5^{n+1}+5^{n+1}-n5^n=n×5^n×5+5^{n+1}-n5^n$
    Soit: $u_{n+1}-u_n=n5^n(5-1)+5^{n+1}$
    Soit: $u_{n+1}-u_n=4n5^n+5^{n+1}$
    Comme $n$ est un entier naturel non nul, il est strictement positif, et par là, la somme obtenue est strictement positive.
    Donc, pour tout naturel $n$ non nul, $u_{n+1}-u_n>0$, soit: $u_{n+1}>u_n$.
    Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.

    Démonstration par une autre méthode.
    Comme tous les termes $u_n$ sont strictement positifs, on peut tenter de comparer ${u_{n+1}}/{u_n}$ à 1.
    On calcule: ${u_{n+1}}/{u_n}={(n+1)5^{n+1}}/{n5^n}={n+1}/{n}×5=(1+{1}/{n})×5$
    Or $1+{1}/{n}$>$1$, et par là: $(1+{1}/{n})×5$>$5$, et chacun sait que $5$>$1$.
    Donc, pour tout naturel $n$ non nul, ${u_{n+1}}/{u_n}$>$1$, soit: $u_{n+1}$>$u_n$.
    Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.

  3. $v_{5+1}=v_5+3×5-12$. Soit $v_6=0+3×5-12=3$.
    $v_{6+1}=v_6+3×6-12$. Soit $v_7=3+3×6-12=9$.
    Conjecture: $(v_n)$ est strictement croissante.
    Démonstration: La méthode 2 de la question 1 est à éviter. En effet: $(v_n)$ n'est pas définie par une relation explicite mais par une relation de récurrence!
    Soit $n$ un naturel supérieur ou égal à 5. On calcule:
    $v_{n+1}-v_n=v_n+3n-12-v_n=3n-12$
    Or $3x-12$ est une fonction affine, qui s'annule $x=4$, et dont le coefficient directeur 3 est strictement positif.
    Elle est donc strictement négative pour $x<4$, et strictement positive pour $x>4$.
    Donc, puisque $n$ est supérieur ou égal à 5, $3n-12>0$.
    Par conséquent, pour tout $n$ naturel supérieur ou égal à 5, $v_{n+1}-v_n>0$, soit: $v_{n+1}>v_n$.
    Par conséquent, $(v_n)$ est strictement croissante.

  4. Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=(-2)^n+n^2$ pour tout naturel $n$.
    Pour démontrer que $(r_n)$ n'est pas monotone, il suffit de donner des contre-exemples. $r_0=(-2)^0+0^2=1+0=1$.
    $r_1=(-2)^1+1^2=-2+1=-1$
    $r_2=(-2)^2+2^2=4+4=8$
    Comme $r_0$>$r_1$, la suite $(r_n)$ n'est pas croissante.
    Comme $r_1$<$r_2$, la suite $(r_n)$ n'est pas décroissante.
    Finalement, la suite $(r_n)$ n'est pas monotone!
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