La Spécialité Maths en Première

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Suites

Exercice 4

  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n^4+n^2+n+7$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
    Déterminer le sens de variation de $(v_n)$.
  3. On pose $f(x)=\cos(2πx)-0,5x$.
    Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=f(n)$ pour tout naturel $n$.
    Montrer que $(w_n)$ est strictement décroissante.
    $f$ est-elle strictement décroissante sur $[0;+∞[$?

Solution...
Corrigé
  1. La détermination du signe de $u_{n+1}-u_n$ semble difficile. Comme $(u_n)$ est définie par une relation explicite $u_n=f(n)$, voyons si la fonction $f$ est monotone sur $[0;+∞[$
    On a: $u_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, avec $f(x)=x^4+x^2+x+7$.
    $f'(x)=4x^3+2x+1$. On note alors que, si $x>0$, alors $f'(x)>0$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
    Et par là, $(u_n)$ est également strictement croissante.

  2. La détermination du signe de $v_{n+1}-v_n$ semble difficile. Elle est faisable (voir la suite $(w_n)$ de l'exercice 2). Mais comme $(v_n)$ est définie par une relation explicite $v_n=f(n)$, voyons si la fonction $f$ est monotone sur $[0;+∞[$
    On a: $v_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, avec $f(x)={x}/{x+2}$.
    $f'(x)={1×(x+2)-x×1}/{(x+2)^2}={x+2-x}/{(x+2)^2}={2}/{(x+2)^2}$.
    On note alors que $f'(x)$ est un quotient dont le numérateur, 2, est strictement positif, et dont le dénominateur est un carré strictement positif (excepté pour la valeur interdite $-2$ où il serait nul).
    Donc, on a $f'(x)>0$, et en particulier sur $[0;+∞[$.
    Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
    Et par là, $(v_n)$ est également strictement croissante.

  3. Soit $n$ un naturel. On a: $w_n=\cos(2πn)-0,5n=1-0,5n$.
    Donc $w_n=g(n)$ pour tout naturel $n$, avec $g(x)=1-0,5x$.
    $g$ est une fonction affine, de coefficient directeur $-0,5$ strictement négatif.
    Donc $g$ est strictement décroissante, en particulier sur $[0;+∞[$.
    Et par là, $(w_n)$ est également strictement décroissante.

    On sait que: si $(w_n)$ est définie par une relation explicite $w_n=f(n)$, et si $f$ est strictement décroissante sur $[0;+∞[$, alors $(w_n)$ est également strictement décroissante.
    Mais la réciproque est fausse! Cet exercice le prouve!

    On a: $f(0,5)=\cos(2π×0,5)-0,5×0,5=-1-0,25=-1,25$ et $f(1)=\cos(2π×1)-0,5×1=1-0,5=0,5$
    On constate que $f(0,5$)<$f(1)$.
    Donc $f$ n'est pas strictement décroissante sur $[0;+∞[$, alors que $(w_n)$ est strictement décroissante..
    Une remarque pour les innocents: $f$ n'est pas strictement croissante non plus! En effet: $f(0)>f(1)$ (car $f(0)=1$ et $f(1)=0,5$).
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