Suites
Exercice 4
- Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n={n}/{2^n}$ pour tout naturel $n$ strictement supérieur à 1.
Déterminer $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Conjecturer le sens de variation de $(u_n)$, puis
démontrer votre conjecture.
- Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Montrons que $(w_n)$ est strictement croissante en déterminant le signe de $w_{n+1}-w_n$ pour tout entier naturel $n$.
- Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_3=0$ et $v_{n+1}=v_n+4-2n$ pour tout naturel $n$ supérieur ou égal à 3.
Déterminer $v_4$ et $v_5$.
Conjecturer le sens de variation de $(v_n)$, puis démontrer votre conjecture. - Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=(-1)^nn$ pour tout naturel $n$.
Démontrer que $(r_n)$ n'est pas monotone.
Corrigé
- $u_2={2}/{2^2}={2}/{4}=0,5$, $u_3={3}/{2^3}={3}/{8}=0,375$ et $u_4={4}/{2^4}={4}/{16}=0,25$.
Conjecture: $(u_n)$ est strictement décroissante.
Démonstration: $(u_n)$ est définie par
la relation explicite $u_n={n}/{2^n}$, mais il est difficile d'étudier le sens de variation de la fonction ${x}/{2^x}$. Par conséquent, nous recherchons plutôt le signe de $u_{n+1}-u_n$.
Soit $n$ un naturel.
On calcule:
$u_{n+1}-u_n={n+1}/{2^{n+1}}-{n}/{2^n}={n+1}/{2^n×2^1}-{n}/{2^n}$
Soit: $u_{n+1}-u_n={n+1}/{2^n×2}-{n×2}/{2^n×2}={n+1-2n}/{2^n×2}$
Soit: $u_{n+1}-u_n={-n+1}/{2^n×2}$
Comme $n>1$, on a: $-n$<$-1$, et donc $-n+1$<$-1+1$, soit $-n+1$<$0$.
Par ailleurs, $2^n×2>0$.
Donc le quotient ${-n+1}/{2^n×2}$ est strictement négatif.
Donc, pour tout naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$<$0$, soit: $u_{n+1}$<$u_n$.
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
Démonstration par une autre méthode.
Comme tous les termes $u_n$ sont strictement positifs, on peut tenter de comparer ${u_{n+1}}/{u_n}$ à 1.
On calcule: ${u_{n+1}}/{u_n}={{n+1}/{2^{n+1}}}/{{n}/{2^n}}={n+1}/{n}×{1}/{2}=(1+{1}/{n})×0,5$
Or, comme $n$>$1$, on a: $0$<${1}/{n}$<$1$, et donc: $1$<$1+{1}/{n}$<$2$.
Et par là: $0,5$<$(1+{1}/{n})×0,5$<$1$.
Donc, pour tout naturel $n$, ${u_{n+1}}/{u_n}$<$1$, soit: $u_{n+1}$<$u_n$.
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
- Soit $n$ un entier naturel.
$w_{n+1}-w_n={n+1}/{n+1+2}-{n}/{n+2}={n+1}/{n+3}-{n}/{n+2}$
Soit: $w_{n+1}-w_n={(n+1)(n+2)}/{(n+3)(n+2)}-{n(n+3)}/{(n+2)(n+3)}={(n+1)(n+2)-n(n+3)}/{(n+3)(n+2)}$
Soit: $w_{n+1}-w_n={n^2+2n+1n+2-n^2-3n}/{(n+3)(n+2)}$
Soit: $w_{n+1}-w_n=={2}/{(n+3)(n+2)}$
Or, puisque $n$ est un entier naturel, il est clair que le dénominateur est strictement positif.
Le numérateur l'est également.
Donc, pour tout naturel $n$, $w_{n+1}-w_n>0$, soit: $w_{n+1}>w_n$.
Par conséquent, $(w_n)$ est strictement croissante.
- $(v_n)$ n'est pas définie par
une relation explicite mais par une relation de récurrence! . Par conséquent, nous recherchons le signe de $v_{n+1}-v_n$
Soit $n$ un naturel supérieur ou égal à 3. On calcule:
$v_{n+1}-v_n=v_n+4-2n-v_n=-2n+4$
Or $-2x+4$ est une fonction affine, qui s'annule $x=2$, et dont le coefficient directeur $-2$ est strictement négatif.
Elle est donc strictement positive pour $x$<$2$, et strictement négative pour $x>2$.
Donc, puisque $n$ est supérieur ou égal à 3, $-2n+4$<$0$.
Par conséquent, pour tout $n$ naturel supérieur ou égal à 3, $v_{n+1}-v_n$<$0$, soit: $v_{n+1}$<$v_n$.
Par conséquent, $(v_n)$ est strictement décroissante.
- Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_n=(-1)^nn$ pour tout naturel $n$.
Pour démontrer que $(r_n)$ n'est pas monotone, il suffit de donner des contre-exemples.
$r_0=(-1)^0×0=0$.
$r_1=(-1)^1×1=-1$
$r_2=(-1)^2×2=2$
Comme $r_0$>$r_1$, la suite $(r_n)$ n'est pas croissante.
Comme $r_1$<$r_2$, la suite $(r_n)$ n'est pas décroissante.
Finalement, la suite $(r_n)$ n'est pas monotone!