Suites
Exercice 5
- Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n^4+n^2+n+7$ pour tout naturel $n$.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$. - Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Déterminer le sens de variation de $(v_n)$.
On pose $f(x)=\cos(2πx)-0,5x$.
Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n=f(n)$ pour tout naturel $n$.
Montrer que $(w_n)$ est strictement décroissante.
$f$ est-elle strictement décroissante sur $[0;+∞[$?
Corrigé
- La détermination du signe de $u_{n+1}-u_n$ semble difficile. Comme $(u_n)$ est définie par
une relation explicite $u_n=f(n)$, voyons si la fonction $f$ est monotone sur $[0;+∞[$
On a: $u_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, avec $f(x)=x^4+x^2+x+7$.
$f'(x)=4x^3+2x+1$. On note alors que, si $x>0$, alors $f'(x)>0$.
Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
Et par là, $(u_n)$ est également strictement croissante. - La détermination du signe de $v_{n+1}-v_n$ semble difficile. Elle est faisable (voir la suite $(w_n)$ de l'exercice 2).
Mais comme $(v_n)$ est définie par une relation explicite $v_n=f(n)$, voyons si la fonction $f$ est monotone sur $[0;+∞[$
On a: $v_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, avec $f(x)={x}/{x+2}$.
$f'(x)={1×(x+2)-x×1}/{(x+2)^2}={x+2-x}/{(x+2)^2}={2}/{(x+2)^2}$.
On note alors que $f'(x)$ est un quotient dont le numérateur, 2, est strictement positif, et dont le dénominateur est un carré strictement positif (excepté pour la valeur interdite $-2$ où il serait nul).
Donc, on a $f'(x)>0$, et en particulier sur $[0;+∞[$.
Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+∞[$.
Et par là, $(v_n)$ est également strictement croissante. - Soit $n$ un naturel. On a: $w_n=\cos(2πn)-0,5n=1-0,5n$.
Donc $w_n=g(n)$ pour tout naturel $n$, avec $g(x)=1-0,5x$.
$g$ est une fonction affine, de coefficient directeur $-0,5$ strictement négatif.
Donc $g$ est strictement décroissante, en particulier sur $[0;+∞[$.
Et par là, $(w_n)$ est également strictement décroissante.
On sait que: si $(w_n)$ est définie par une relation explicite $w_n=f(n)$, et si $f$ est strictement décroissante sur $[0;+∞[$, alors $(w_n)$ est également strictement décroissante.
Mais la réciproque est fausse! Cet exercice le prouve!
On a: $f(0,5)=\cos(2π×0,5)-0,5×0,5=-1-0,25=-1,25$ et $f(1)=\cos(2π×1)-0,5×1=1-0,5=0,5$
On constate que $f(0,5)$<$f(1)$.
Donc $f$ n'est pas strictement décroissante sur $[0;+∞[$, alors que $(w_n)$ est strictement décroissante..
Une remarque pour les innocents: $f$ n'est pas strictement croissante non plus! En effet: $f(0)>f(1)$ (car $f(0)=1$ et $f(1)=0,5$).