Suites
Exercice 7
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et de raison $a=2$.
On considère la suite géométrique $(v_n)$ définie par $v_0=8$ et de raison $b=1,8$.
1.a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout naturel $n$.
1.b. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
1.c. Donner le sens de variation de $(u_n)$.
1.d. Que vaut la somme des 8 premiers termes de $(u_n)$?
2.a. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour tout naturel $n$.
2.b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
2.c. Donner le sens de variation de $(v_n)$.
2.d. Que vaut la somme S des 8 premiers termes de $(v_n)$ (arrondie à $0,01$ près)?
2.e. Déterminer la valeur de $S'=v_2+v_3+v_4+v_5+v_6+v_7$ (arrondie à $0,01$ près).
3.a. Montrer que, pour tout naturel $n$ non nul, on a: ${u_{n-1}+u_{n+1}}/{2}=u_n$.
3.b. Montrer que, pour tout naturel $n$, $v_n$ est positif.
Montrer que, pour tout naturel $n$ non nul, on a: $√ {v_{n-1}×v_{n+1}}=v_n$.
Corrigé
1.a. Comme la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $a=2$, on a:
pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n+2$.
1.b. Comme la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $a=2$, on a:
pour tout naturel $n$: $u_n=2n+u_0=2n+10$.
1.c. Comme la raison de la suite arithmétique $(u_n)$ est strictement positive, cette suite est strictement croissante.
1.d. Soit $s$ la somme cherchée.
On a: $s=u_0+u_1+u_2+...+u_7$
Soit: $s=u_0+(u_0+a)+(u_0+2a)+...+(u_0+7a)$
Soit: $s=8u_o+a(1+2+...+7)$
Soit: $s=8u_0+a ×{7×8}/{2}$
Soit: $s=8×10+2×28$
Soit: $s=136$
Autre méthode:
On a: $s=u_0+u_1+u_2+...+u_6+u_7$
Et: $s=u_7+u_6+...u_2+u_1+u_0$
Donc, en sommant les deux égalités membre à membre, on obtient:
$2s=(u_0+u_7)+(u_1+u_6)+...+(u_6+u_1)+(u_7+u_0)$
Or, les 8 termes sont tous égaux entre eux; on a en effet: $u_0+u_7=u_1-a+u_6+a=u_1+u_6$, et ainsi de suite... (pour passer d'un terme à l'autre, on ajoute $a$ et on le soustrait).
Donc on obtient: $2s=8×(u_0+u_7)$
Et par là: $s={(u_0+u_7)×8}/{2}$
Ceci est un cas particulier de la propriété (hors programme) suivante:
"la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la moyenne des termes extrêmes".
Or: $u_0=10$ et $u_7=u_0+7a=10+7×2=24$
Donc: $s={(10+24)×8}/{2}=136$
2.a. Comme la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $b=1,8$, on a:
pour tout naturel $n$: $v_{n+1}=1,8×v_n$.
2.b. Comme la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $b=1,8$, on a:
$v_n=v_0× 1,8^n=8× 1,8^n$.
2.c. Comme $1$<$1,8$, alors $(1,8^n)$ est strictement croissante.
Et comme $8$>$0$, $(v_n)$ est également strictement croissante.
2.d. On cherche: $S=v_0+v_1+v_2+v_3+v_4+v_5+v_6+v_7$
Soit: $S=8+8× 1,8+8× 1,8^2+...+8× 1,8^7$
Soit: $S=8(1+1,8+1,8^2+...+1,8^7)$
Soit: $S=8{1-1,8^8}/{1-1,8}$
Soit: $S≈1092,00$
2.e. On cherche: $S'=S-v_0-v_1≈1092,00-8-8× 1,8≈1069,60$
3.a. Pour tout naturel $n$ non nul, on a:
${u_{n-1}+u_{n+1}}/{2}={(u_{n}-2)+(u_{n}+2)}/{2}={2u_{n}}/{2}=u_n$. c.q.f.d.
De façon plus générale, on peut montrer que, si $(u_n)$ est arithmétique, alors, pour tout naturel $n$ non nul, $u_n$ est la moyenne arithmétique des termes qui l'encadrent.
Rappel: la moyenne arithmétique de deux nombres $a$ et $b$ est ${a+b}/{2}$
3.b. Pour tout naturel $n$, $v_n=8× 1,8^n$. C'est un produit de facteurs positifs. Donc $v_n$ est positif.
Pour tout naturel $n$ non nul, on a:
$√ {v_{n-1}×v_{n+1}}=√ {{v_{n}}/{1,8}×(1,8×v_{n})}=√ {v_{n}^2}$
Et comme $v_n$ est positif, on obtient: $√ {v_{n-1}×v_{n+1}}=v_n$. c.q.f.d.
De façon plus générale, on peut montrer que, si $(v_n)$ est géométrique et positive, alors, pour tout naturel $n$ non nul, $v_n$ est la moyenne géométrique des termes qui l'encadrent.
Rappel: la moyenne géométrique de deux nombres positifs $a$ et $b$ est $√ {a×b}$