Suites
Exercice 9
Le nombre de clients potentiels du marché sur lequel sont en concurrence les sociétés LibreBox et Télécom est supposé stable et égal à 70 millions de clients.
Au premier janvier 2000, la société LibreBox possède 7 millions de clients, tandis que la société Télécom en détient 63 millions.
Chaque année, 20% de la clientèle de LibreBox change pour Télécom et de même, 20% de la clientèle de Télécom change pour LibreBox.
Soit $u_n$ le nombre de clients (en millions) de la société LibreBox au premier janvier de l'année $2000+n$. Il est clair que $u_0=7$.
1.a. Montrer que $u_1=18,2$
1.b. Montrer que $u_{n+1}=0,6×u_n+14$ pour tout naturel $n$.
1.c. Montrer que la suite $(u_{n})$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n=u_n-35$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,6$ et donner son premier terme.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
5. Par essais successifs, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n>34,8$.
Corrigé
1.a. $u_1=u_0×0,80+(70-u_0)×0,20=7×0,80+(70-7)×0,20=7×0,80+63×0,20=18,2$.
1.b. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n×0,80+(70-u_n)×0,20=0,80u_n+70×0,20-0,20u_n=0,6×u_n+14$.
1.c. On a: $u_2=0,6×u_1+14=0,6×18,2+14= 24,92$.
On calcule: $u_1-u_0=18,2-7=11,2$ et $u_2-u_1=24,92-18,2=6,72$
Donc: $u_1-u_0≠u_2-u_1$, et par là, $(u_{n})$ n'est pas arithmétique.
On calcule: ${u_1}/{u_0}={18,2}/{7}=2,6$ et ${u_2}/{u_1}={24,92}/{18,2}≈1,4$
Donc: ${u_1}/{u_0}≠{u_2}/{u_1}$, et par là, $(u_{n})$ n'est pas géométrique.
Pour information, cette suite est dite arithmético-géométrique.
2. Soit $n$ un entier naturel; on a: $v_{n+1}=u_{n+1}-35=0,6×u_n+14-35=0,6×u_n-21$.
Or: $0,6×v_n=0,6×(u_n-35)=0,6×u_n-0,6×35=0,6×u_n-21$.
Donc: $v_{n+1}=0,6×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-35=7-35=-28$.
Une autre façon de montrer que $v_{n+1}=0,6×v_n$ est la suivante.
On a: $v_{n+1}=u_{n+1}-35=0,6×u_n+14-35=0,6×u_n-21$.
Or, comme $v_n=u_n-35$, on a: $u_n=v_n+35$.
Et par là, on obtient: $v_{n+1}=0,6×(v_n+35)-21=0,6×v_n+0,6×35-21=0,6×v_n$
3. On obtient alors: $v_n=v_0×0,6^n=(-28)×0,6^n$.
Par ailleurs, $v_n=u_n-35$ donne $v_n+35=u_n$.
Finalement, on obtient: $(-28)×0,6^n+35=u_n$.
4. Comme $0$<$0,6$<$1$, la suite $(0,6^n)$ est strictement décroissante.
Comme $-28$<$0$, la suite $(-28)×(0,6^n)$ est strictement croissante.
Et par là, la suite $u_n$ est également strictement croissante.
5. On a: $u_9≈34,7$ et $u_{10}≈34,83$.
Comme $(u_n)$ est strictement croissante, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n>34,8$ est donc 10.