Fonctions trigonométriques
Exercice 6
1. Déterminer la valeur exacte de $\cos{11π}/{6}$
2. Dans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le point M associé au réel ${11π}/{12}$?
En déduire les signes de $\cos {11π}/{12}$ et de $\sin {11π}/{12}$
3. On admet que, pour tout nombre $α$, on a: $\cos 2α=2\cos^2 α-1$.
En déduire la valeur de $\cos {11π}/{12}$.
4. Montrer que $\sin {11π}/{12}={√6-√2}/{4}$.
Solution...Corrigé
1. $\cos{11π}/{6}=\cos (2π-{π}/{6})=\cos (-{π}/{6})=\cos {π}/{6}={√3}/{2}$
Finalement: $\cos{11π}/{6}={√3}/{2}$
2. On a: ${π}/{2}$<${11π}/{12}$<$π$.
Donc le point M associé au réel ${11π}/{12}$ est dans le second quadrant du cercle trigonométrique.
Par conséquent: $\cos {11π}/{12}≤0$ et $\sin {11π}/{12}≥0$
3. Pour tout nombre $α$, on a: $\cos 2α=2\cos^2 α-1$.
Pour $α={11π}/{12}$, cela donne: $\cos {11π}/{6}=2\cos^2 {11π}/{12}-1$.
Soit: ${√3}/{2}=2\cos^2 {11π}/{12}-1$
Donc: ${{√3}/{2}+1}/{2}=\cos^2 {11π}/{12}$
Et par là: $\cos {11π}/{12}=√{{√3+2}/{4}}$ ou $\cos {11π}/{12}=-√{{√3+2}/{4}}$
Or : $\cos {11π}/{12}≤0$
Donc: $\cos {11π}/{12}=-√{{√3+2}/{4}}$
Soit: $\cos {11π}/{12}=-{√{√3+2}}/{2}$
4. Comme $\cos^2{ 11π}/{12}+\sin^2{ 11π}/{12}=1$, on obtient:
$(-{√{√3+2}}/{2})^2+\sin^2{ 11π}/{12}=1$
Et par là: $\sin^2{ 11π}/{12}=1-{√3+2}/{4}={2-√3}/{4}$
Et par là: $\sin {11π}/{12}=√{{2-√3}/{4}}$ ou $\sin {11π}/{12}=-√{{2-√3}/{4}}$
Or : $\sin {11π}/{12}≥0$
Donc: $\sin {11π}/{12}=√{{2-√3}/{4}}$
Soit: $\sin {11π}/{12}={√{2-√3}}/{2}$
Pour montrer que 2 réels positifs sont égaux, il suffit de montrer que leurs carrés sont égaux.
Ici, les nombres positifs sont ${√{2-√3}}/{2}$ et ${√6-√2}/{4}$.
Montrons que leurs carrés sont égaux.
On calcule: $({√6-√2}/{4})^2={6-2√6√2+2}/{16}={8-2√{12}}/{16}$
Soit: $({√6-√2}/{4})^2={8-4√{3}}/{16}={4(2-√{3})}/{16}={2-√3}/{4}$
Soit: $({√6-√2}/{4})^2=({√{2-√3}}/{2})^2$
Par conséquent, on a finalement: $\sin {11π}/{12}={√6-√2}/{4}$