La Spécialité Maths en Première

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Fonctions trigonométriques

Exercice 7

Soit $x$ un réel de l'intervalle $[-π;-{π}/{2}]$. Et soit M le point du cercle trigonométrique associé à $x$.
1. Placer le point M tel que $\sin x=-{5}/{9}$

2. Placer les points du cercle trigonométrique associés aux réels:
${π}/{2}+x$      ${π}/{2}-x$      $π+x$      $π-x$

3. Déterminer la valeur de $\cos x$.

4. Déterminer les valeurs exactes de:
$\sin ({π}/{2}-x)$      $\cos ({π}/{2}-x)$
$\sin (π+x)$      $\cos (π-x)$

Solution...
Corrigé

1. $x$ est dans $[-π;-{π}/{2}]$. Donc le point M associé à $x$ est dans le troisième quadrant.
Et comme $\sin x=-{5}/{9}≈-0,56$, on a ainsi l'ordonnée de ce point M.
D'où le dessin ci-dessous.
cercle trigonométrique et angles associés


2. Les points du cercle trigonométrique associés aux réels:
${π}/{2}+x$      ${π}/{2}-x$      $π+x$      $π-x$
sont placés sur la figure précédente.


3. On a: $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.
Donc: $\cos^2 x=1-\sin^2 x$
Soit: $\cos^2 x=1-(-{5}/{9})^2=1-{25}/{81}={56}/{81}$
Or, comme $x$ est dans $[-π;-{π}/{2}]$, on a: $\cos x$<$0$.
Donc: $\cos x=-√{{56}/{81}}=-{2√{14}}/{9}≈-0,83$


4. On utilise le propriétés des angles associés.
$\sin ({π}/{2}-x)=\cos x=-{2√{14}}/{9}$      $\cos ({π}/{2}-x)=\sin x=-{4}/{9}$

$\sin (π+x)=-\sin x={4}/{9}$      $\cos (π-x)=-\cos x={2√{14}}/{9}$

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