Polynômes du second degré
Exercice 10
On considère un triangle ABC rectangle en A. On sait que son périmètre est $p$, et que $BC=8$.
On pose: $AB=x$.
1. Supposons que $p=19$. Déterminer $x$.
2. Supposons que ABC soit isorectangle en A. Déterminer $p$.
Corrigé
1. Supposons que $p=19$.
Le périmètre de ABC vaut 19, donc: $AB+BC+CA=19$.
Or, on a: $AB=x$ et $BC=8$.
Par conséquent, on obtient: $CA=19-8-x=11-x$.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc: $CA^2+AB^2=BC^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
D'où: $(11-x)^2+x^2=8^2$.
Soit: $11^2-2×11× x+x^2+x^2=64$
Soit: $121-22x+2x^2-64=0$
Et finalement: $2x^2-22x+57=0$
Le membre de gauche est un trinôme avec $a=2$, $b=-22$ et $c=57$.
On a: $Δ=b^2-4ac=(-22)^2-4×2×57=28$
$Δ$>$0$. Le trinôme a donc 2 racines distinctes:
$x_1={-b-√Δ}/{2a}={22-√{28}}/{4}={11-√{7}}/{2}≈4,2$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}=={22+√{28}}/{4}={11+√{7}}/{2}≈6,8$.
Or $x$ est une distance. Il est donc positif. Les 2 valeurs conviennent donc.
On obtient alors: ( $AB≈4,2$ et $CA≈6,8$ ) ou ( $AB≈6,8$ et $CA≈4,2$ )
On note que les côtés AB et CA jouent des rôles symétriques
2. Supposons que ABC soit isorectangle en A.
Le triangle ABC est isocèle en A, donc: $AB=CA=x$.
Or, comme le triangle ABC est rectangle en A, on a: $CA^2+AB^2=BC^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
Donc: $x^2+x^2=8^2$.
D'où: $x^2=32$.
Et par là: $x=√{32}$ ou $x=-√{32}$
Or $x$ est une distance. Il est donc positif. Donc $x=√{32}=4√{2}≈5,7$.
Et par là: $p=AB+BC+CA=4√{2}+8+4√{2}=8√{2}+8≈19,3$