Polynômes du second degré
Exercice 11
On pose:
$f(x)=2(x-1)(x+3)=2x^2+4x-6$
et
$g(x)=-3(x-1)^2+12=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)$
Résoudre chacune des équations ou inéquations suivantes en choisissant à chaque fois la meilleure forme pour les fonctions $f(x)$ et $g(x)$.
- $f(x)=-6$
- $f(x)=0$
- $f(x)=3$
- $g(x)=0$
- $g(x)$>$12$
- $g(x)$<$3$
Corrigé
- $f(x)=-6$ $⇔$ $2x^2+4x-6=-6$ $⇔$ $2x^2+4x=0$
Soit: $f(x)=-6$ $⇔$ $x(2x+4)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $x=-2$
Donc S$=\{-2 ; 0\}$ - $f(x)=0$ $⇔$ $2(x-1)(x+3)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x+3=0$
Soit: $f(x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=-3$
Donc S$=\{-3 ; 1\}$ - $f(x)=3$ $⇔$ $2x^2+4x-6=3$ $⇔$ $2x^2+4x-9=0$
Le membre de gauche est un trinôme avec $a=2$, $b=4$ et $c=-9$.
$Δ=b^2-4ac=4^2-4×2×(-9)=88$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-4-√{88}}/{4}=-{2+√{22}}/{2}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-2+√{22}}/{2}$.
Donc S$=\{-{2+√{22}}/{2};{-2+√{22}}/{2}\}$ - $g(x)=0$ $⇔$ $-3(x-3)(x+1)=0$ $⇔$ $x-3=0$ ou $x+1=0$
Soit: $g(x)=0$ $⇔$ $x=3$ ou $x=-1$
Donc S$=\{-1 ; 3\}$ - $g(x$>$12$ $⇔$ $-3(x-1)^2+12$>$12$ $⇔$ $-3(x-1)^2$>$0$
Or le membre de gauche est le produit d'un carré par un nombre négatif. Le résultat est négatif.
Donc l'inéquation n'a pas de solution. - $g(x)$<$3$ $⇔$ $-3(x-1)^2+12$<$3$ $⇔$ $-3(x-1)^2$<$-9$
Soit: $g(x)$<$3$ $⇔$ $(x-1)^2$>${-9}/{-3}$
A retenir: la division des 2 membres d'une inéquation par un nombre strictement négatif en inverse le sens!
On obtient finalement: $g(x)$<$3$ $⇔$ $(x-1)^2$>$3$
Soit: $g(x)$<$3$ $⇔$ $x-1$<$-√3$ ou $x-1$>$√3$
Soit: $g(x)$<$3$ $⇔$ $x$<$1-√3$ ou $x$>$1+√3$
Donc: S$=]-\∞;1-√3[∪]1+√3;+\∞[$
Choisir la forme développée du trinôme aurait conduit au même résultat, mais de façon beaucoup plus longue!
Choisir la forme factorisée aurait été pire...