Polynômes du second degré
Exercice 2
Résoudre chacune des équations suivantes:
- $-x+1=6x^2$
- $2x^2-14x=x^2-49$
- $-5x^3+x^2-3x=0$
- $x^3=9x$
- $(x-1)(x^2+x+1)=0$
${x^2+7}/{x^2-x-6}=0$
Corrigé
Pour résoudre une équation, repérer le domaine d'étude, puis rendre le membre de droite égal à 0. Si le membre de gauche est une fonction affine ou un trinôme, la résolution est facile. Sinon, on peut tenter de factoriser, ou de réduire au même dénominateur.
- $\D_E=\ℝ$
$-x+1=6x^2$ $⇔$ $-6x^2-x+1=0$.
Le membre de gauche est un trinôme avec $a=-6$, $b=-1$ et $c=1$.
$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×(-6)×1=25$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{-12}={1}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{-12}=-0,5$.
Donc S$=\{-0,5;{1}/{3}\}$
- $\D_E=\ℝ$
$2x^2-14x=x^2-49$ $⇔$ $x^2-14x+49=0$.
Le membre de gauche est un trinôme avec $a=1$, $b=-14$ et $c=49$.
$Δ=b^2-4ac=(-14)^2-4×1×49=0$.
$Δ=0$. Le trinôme a 1 racine double $x_0={-b}/{2a}={14}/{2}=7$.
Donc S$=\{7\}$
Autre méthode: on a: $x^2-2×x×7+7^2=(x-7)^2$
Il est alors évident que le carré $(x-7)^2$ est nul si et seulement si $x=7$. - $\D_E=\ℝ$
$-5x^3+x^2-3x=0$ $⇔$ $x(-5x^2+x-3)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $-5x^2+x-3=0$.
$-5x^2+x-3$ est un trinôme avec $a=-5$, $b=1$ et $c=-3$.
$Δ=b^2-4ac=1^2-4×(-5)×(-3)=-59$.
$Δ<0$. Le trinôme n'a pas de racine.
Donc S$=\{0\}$ - $\D_E=\ℝ$
$x^3=9x$ $⇔$ $x^3-9x=0$ $⇔$ $x(x^2-9)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $x^2-9=0$
Nous avons déjà une solution, $0$.
Résolvons l'équation $x^2-9=0$.
$x^2-9$ $⇔$ $x^2=9$ $⇔$ $x=3$ ou $x=-3$
Nous avons isolé le carré pour résoudre. C'est le plus rapide!
Une autre méthode est la suivante.
$x^2-9$ est un trinôme avec $a=1$, $b=0$ et $c=-9$.
Comme $b=0$, et que $a$ et $c$ sont de signes opposés, la factorisation est évidente.
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
Le trinôme a donc 2 racines $3$ et $-3$.
Donc finalement: S$=\{-3;0;3\}$ - $\D_E=\ℝ$
$(x-1)(x^2+x+1)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x^2+x+1=0$
On a: $x-1=0$ $⇔$ $x=1$.
Par ailleurs: $x^2+x+1$ est un trinôme avec $a=1$, $b=1$ et $c=1$.
$Δ=b^2-4ac=1^2-4×1×1=-3$.
$Δ<0$. Le trinôme n'a pas de racine.
Donc finalement: S$=\{1\}$ -
Nous sommes en présence d'un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
Le dénominateur $x^2-x-6$ est un trinôme avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-6$.
$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-6)=25$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines
$x_1={-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{2}=-2$
et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{2}=3$.
Les valeurs interdites sont $-2$ et $3$.
Donc $\D_E=\ℝ ∖\{-2;3\}$
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul
Donc: ${x^2+7}/{x^2-x-6}=0$ $⇔$ $x^2+7=0$
Or $x^2+7$ est un trinôme, qui est la somme d'un carré et de 7. Il reste donc strictement positif, et ne vaut jamais $0$.
Donc, finalement: S$= ∅$