Polynômes du second degré
Exercice 5
Un rectangle a pour périmètre 36 cm et pour aire 56 cm².
Déterminer ses dimensions.
Corrigé
Soit $x$ et $y$ les côtés du rectangle.
Ils vérifient les égalités: $2(x+y)=36$ et $xy=56$.
Première méthode
Or: $2(x+y)=36$ $⇔$ $x+y=18$ $⇔$ $x=18-y$
En reportant dans la seconde égalité, on obtient: $(18-y)y=56$.
Or: $(18-y)y=56$ $⇔$ $18y-y^2-56=0$ $⇔$ $-y^2+18y-56=0$
Le membre de gauche est un trinôme avec $a=-1$, $b=18$ et $c=-56$.
$Δ=b^2-4ac=18^2-4×(-1)×(-56)=100$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-18-10}/{-2}=14$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-18+10}/{-2}=4$.
$x=14$ donne $y=18-14=4$
$x=4$ donne $y=18-4=14$
Ce résultat est logique car $x$ et $y$ jouent un role symétrique; leur inversion fournit les mêmes équations.
Finalement, le rectangle a pour longueur 14 cm et pour largeur 4 cm.
Seconde méthode
On obtient: $x+y=18$ et $xy=56$.
Nous devons donc déterminer deux réels connaissant leur somme $s=18$ et leur produit $p=56$.
Ces réels sont les racines du trinôme $x^2-sx+p$.
C'est à dire les racines de $x^2-18x+56$
Le trinôme est l'opposé du trinôme obtenu avec la première méthode, et nous obtenons donc les mêmes racines!