Polynômes du second degré
Exercice 6
On pose $f(x)=3x^2+x-4$
- De quelle nature est $f$?
- Proposer une racine évidente de $f$.
- Quel est le produit des racines de $f$?
- En déduire la seconde racine de $f$.
- Donner la forme factorisée de $f$.
- Vérifier que $f$ admet pour forme canonique $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}$.
- Choisir la forme de $f$ la plus adaptée pour résoudre chacune des équations suivantes.
(1) $f(x)+{49}/{12}=0$
(2) $f(x)=0$
(3) $f(x)+4=0$
Corrigé
On pose $f(x)=3x^2+x-4$
- $f$ est un trinôme du second degré avec $a=3$, $b=1$ et $c=-4$.
- Il est évident que $f(1)=0$. Donc $1$ est une racine évidente de $f$.
- Le trinôme $f$ ayant au moins une racine, on peut considérer le produit $p$ de ses racines.
Comme $p={c}/{a}$, on obtient: $p={-4}/{3}$
A retenir: si le polynôme du second degré $ax^2+bx+c$ a un discriminant positif ou nul, alors la somme de ses racines (éventuellement confondues) vaut $s={-b}/{a}$ et leur produit vaut $p={c}/{a}$.
- Soit $x_2$ la seconde racine du trinôme $f$.
Comme $1$ est la première racine, on a donc: $1×x_2={-4}/{3}$
Et donc: $x_2={-4}/{3}$ - Par conséquent, la forme factorisée de $f$ est:
$f(x)=3(x-1)(x+{4}/{3})$. - L'expression proposée est bien une forme canonique de trinôme.
On développe: $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}=3(x^2+2×x×{1}/{6}+({1}/{6})^2)-{49}/{12}$
Donc: $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}=3(x^2+{1}/{3}x+{1}/{36})-{49}/{12}$
Donc: $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}=3x^2+x+{1}/{12})-{49}/{12}$
Donc: $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}=3x^2+x+-4$
Donc: $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}=f(x)$
Donc $f$ admet pour forme canonique $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}$. - (1)$⇔$ $f(x)+{49}/{12}=0$ $⇔$ $3(x+{1}/{6})^2-{49}/{12}+{49}/{12}=0$
(1)$⇔$ $3(x+{1}/{6})^2=0$ $⇔$ $(x+{1}/{6})^2=0$
(1)$⇔$ $x+{1}/{6}=0$ $⇔$ $x=-{1}/{6}$
Donc S$=\{-{1}/{6}\}$
(2)$⇔$ $f(x)=0$ $⇔$ $3(x-1)(x+{4}/{3})=0$
(2)$⇔$ $3=0$ (impossible) ou $x-1=0$ ou $x+{4}/{3}=0$
(2)$⇔$ $x=1$ ou $x=-{4}/{3}$
Donc S$=\{-{4}/{3};1\}$
Ceci était évident; on retrouve les racines du trinôme!
(3)$⇔$ $f(x)+4=0$ $⇔$ $3x^2+x-4+4=0$ $⇔$ $3x^2+x=0$
Le membre de gauche est un trinôme de terme constant nul. Sa factorisation est évidente!
(3)$⇔$ $x(3x+1)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $3x+1=0$
(3)$⇔$ $x=0$ ou $x=-{1}/{3}$
Donc S$=\{-{1}/{3};0\}$