Polynômes du second degré
Exercice 9
Gripsou prête 100 euros à Donald au taux de $t%$ par an.
Donald rembourse une première fois 60 euros au bout d'un an, puis à nouveau 60 euros à la fin de la seconde année.
Il ne doit alors plus rien à Gripsou.
Combien vaut $t$?
Il est conseillé de poser $x=1+{t}/{100}$, puis de montrer que $x$ vérifie l'équation $100x^2-60x-60=0$.
Quand vous aurez trouvé $x$, la valeur de $t$ sera alors évidente!
Corrigé
Posons $x=1+{t}/{100}$. C'est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $t%$.
Au bout d'un an, Donald doit à Gripsou une somme égale à: $100×x$ (en euros).
Il rembourse alors 60 euros. Il ne doit plus qu'une somme égale à: $100×x-60$ (en euros).
Au bout de 2 ans, Donald doit à Gripsou une somme égale à: $(100×x-60)×x$ (en euros).
On note que cette somme s'écrit: $100x^2-60x$ (en développant).
Il rembourse alors 60 euros. Il ne doit plus qu'une somme égale à: $100x^2-60x-60$ (en euros).
Et comme il ne doit plus rien, on a l'égalité: $100x^2-60x-60=0$.
Le membre de gauche est un trinôme avec $a=100$, $b=-60$ et $c=-60$.
$Δ=b^2-4ac=(-60)^2-4×100×(-60)=27600$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={60-√{27600}}/{200}≈-0,5307$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={60+√{27600}}/{200}≈1,1307$.
Evidemment, $x$ est positif (il est même supérieur à 1).
Par conséquent, la seule valeur à retenir est $x≈1,1307$.
Et comme $x=1+{t}/{100}$, il vient: $t≈13,07$ (car $1,1307=1+{13,07}/{100}$).
Finalement, Gripsou a prêté son argent à un taux annuel de $13,07%$ environ, ce qui est plutôt élevé!