La Spécialité Maths en Première

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Variations

Exercice 7

Un canon, placé au sol sur un terrain parfaitement horizontal, tire un boulet. La trajectoire du boulet reste dans un plan vertical.
Ce plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J).
L'axe (OI) est horizontal, l'axe (OJ) est vertical.
Le canon est en O. L'angle de tir par rapport à l'horizontale est $a$ (en degrés).
Les unités des axes sont les mètres.
On appelle $P$ la trajectoire suivie par ce boulet.
On admettra que $P$ admet pour équation: $y=f(x)$ avec $f(x)=-{x^2}/{800}(1+(\tan (a))^2)+x\tan(a)$.
On rappelle que $\tan(a)={\sin(a)}/{\cos(a)}$
fig29
Partie A
Quelle est la nature de $f$? Quelle est la nature de $P$?

Partie B
On suppose dans cette partie que $a=45°$.

  1. Montrer que $f(x)=-0,0025x^2+x$

  2. Soit $\D_f$ le domaine de définition de $f$. Dans le cadre de ce problème, comme $f(x)$ représente une altitude, il est clair que $f(x)$ existe si et seulement si $f(x)≥0$.
    Déterminer $\D_f$.

  3. Déterminer $f'(x)$, puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $\D_f$.

  4. Donner les coordonnées du sommet de $P$ et donner l'équation de son axe de symétrie.

  5. Un drone vole horizontalement à 50 mètres d'altitude dans le plan de tir.
    Déterminer les abscisses des points où le boulet peut l'atteindre.

Partie C
On revient au cas général.

  1. Un drone en vol stationnaire se situe dans le plan de tir au point $M(200;130)$.
    Est-il possible que le boulet le touche si $a=45°$?

  2. Pour atteindre le point $M(200;130)$ , l'artilleur devra choisir finement la hausse $a$ du canon, c'est-à-dire la valeur de $\tan(a)$
    Posons $t=\tan(a)$.
    Montrer que $t$ est solution de l'équation $50t^2-200t+180=0$

  3. Résoudre cette équation.

  4. On admet que la touche Arctan de votre calculatrice permet, à partir de la valeur de $\tan a$, d'obtenir l'unique mesure de $a$ convenable entre -90° et 90° (il vaudrait mieux que cette mesure soit positive, sinon, l'artilleur va se tirer dans le pied!)
    Déterminer les valeurs possibles de $a$ (arrondies au degré)


Solution...
Corrigé

Partie A
$f(x)=-{x^2}/{800}(1+(\tan (a))^2)+x\tan(a)$.
$f$ est un trinôme du second degré dont les coefficients sont: ${1+(\tan (a))^2}/{800}$, $\tan(a)$ et 0.
Et par là, comme le repère est orthonormé, sa représentation graphique $P$ est une parabole.

Partie B

  1. Ici $a=45°$. Donc $\tan(a)={\sin 45°}/{\cos 45°}={{√2}/{2}}/{{√2}/{2}}=1$.
    Donc on obtient: $f(x)=-{x^2}/{800}(1+1^2)+x×1=-0,0025x^2+x$

  2. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $f(x)≥0$.
    Or $f(x)=x(-0,0025x+1)$.
    Ses racines sont alors $0$ et ${-1}/{-0,0025}=400$.
    D'où le tableau de signes de $x(-0,0025x+1)$
    fig25
    Par conséquent $\D_f=[0;400]$.

  3. On a: $f'(x)=-0,0025×2x+1=-0,005x+1$
    $-0,005x+1$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a$ strictement négatif, qui s'annule pour $x=200$.
    D'où le tableau de variation de $f$ sur $ [0;400]$.
    fig26

  4. Par conséquent, le sommet de $P$ a pour coordonnées (200;100).
    Et $P$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=200$.

  5. Un drone vole horizontalement à 50 mètres d'altitude dans le plan de tir.
    La où les abscisses des points où le boulet peut l'atteindre sont solution de l'équation $f(x)=50$.
    $f(x)=50$ $ ⇔$ $-0,0025x^2+x-50=0$
    Le membre de gauche est un trinôme avec $a=-0,0025$, $b=1$ et $c=-50$.
    $Δ=b^2-4ac=1^2-4×(-0,0025)×(-50)=0,5$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-1-√{0,5}}/{-0,005}≈341,4$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}{-1+√{0,5}}/{-0,005}≈58,6$.
    Le boulet peut atteindre le drone en 2 points, dont les abscisses valent environ 58,86m et 341,4m
    fig27

Partie C
On revient au cas général.

  1. Un drone en vol stationnaire se situe dans le plan de tir au point $M(200;130)$.
    Il est donc situé à 130m de hauteur.
    Or, si $a=45°$, alors l'altitude maximale du boulet est de 100m (d'après le tableau de variation de la partie B).
    Donc le boulet ne peut pas atteindre le drone.

  2. Le boulet peut toucher le drone si et seulement si le point $M(200;130)$ fait partie de la parabole $P$.
    C'est à dire lorsque $f(200)=130$
    Soit: $-{200^2}/{800}(1+(\tan (a))^2)+200\tan(a)=130$
    Posons $t=\tan(a)$.
    On obtient alors: $-{200^2}/{800}(1+t^2)+200t=130$
    Soit: $-50(1+t^2)+200t=130$
    Soit: $-50-50t^2+200t=130$
    Et finalement: $0=50t^2-200t+180$   C'est l'équation prévue.

  3. Le membre de gauche est un trinôme avec $a=50$, $b=-200$ et $c=180$.
    $Δ=b^2-4ac=(-200)^2-4×50×180=4000$.
    $Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $t_1={-b-√Δ}/{2a}={200-√{4000}}/{100}≈1,368$ et $t_2={200+√{4000}}/{100}≈2,632$.

  4. A l'aide de la calculatrice, on obtient $a≈54°$ ou $a≈69°$
    On a tracé ci-dessous les 2 paraboles corespondant aux 2 angles de tir possibles.
    Pour mémoire, la parabole P de la partie B est également représentée (en traits interrompus)
    fig28

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