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Repérage dans le plan

Définition

Un repère du plan est défini par trois points non alignés $(O,I,J)$.
Si le triangle OIJ est rectangle en $O$, alors le repère est orthogonal.
Si, de plus, le triangle OIJ est isocèle en $O$, alors le repère est orthonormé (ou orthonormal).
repères

Le repère est orthogonal lorsque les directions des axes sont perpendiculaires. Il est orthonormé lorsque les axes forment un angle droit et les unités sont les mêmes.

Propriété

Dans le plan rapporté à un repère $(O,I,J)$, tout point M est repéré par un un unique couple $(x_M;y_M)$ de nombres réels, appelé couple des coordonnées de M.
Remarque: on note indifféremment $M(x_M,y_M)$ ou $M(\table x_M; y_M)$.

Définition

La première coordonnée, $x_M$, est l'abscisse; la seconde coordonnée, $y_M$, est l'ordonnée.


II.Coordonnées du milieu d'un segment

Le plan est muni d'un repère.

Propriété

Soit $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $I(x_I,y_I)$ trois points du plan.
Le point I est le milieu du segment [AB]     si et seulement si     $x_I={x_A+x_B}/{2}$    et    $y_I={y_A+y_B}/{2}$.

Exemple

Soit $A(\,1,6\,;\,0,8\,)$, $B(\,4,2\,;\,2,6\,)$, $C(\,3,2\,;\,-0,8\,)$ et $K(\,3,7\,;\,0,91\,)$.
Faire une figure.
Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
Vérifier si K est le milieu du segment [BC].

Solution...
Corrigé

Voici la figure demandée.
repères
Ici, le repère est orthonormé (pour des raions de facilité), mais ce n'était pas exigé.

I est le milieu du segment [AB]
Donc: $x_I={x_A+x_B}/{2}$    et    $y_I={y_A+y_B}/{2}$

Soit: $x_I={1,6+4,2}/{2}=2,9$    et    $y_I={0,8+2,6}/{2}=1,7$

Donc: $I(\,2,9\,;\,1,7\,)$

Le milieu J du segment [BC] a pour coordonnées:
Donc: $x_J={x_B+x_C}/{2}$    et    $y_J={y_B+y_C}/{2}$

Soit: $x_J={4,2+3,2}/{2}=3,7$    et    $y_J={2,6+(-0,8)}/{2}=0,9$

Donc: $J(\,3,7\,;\,0,9\,)$
Et comme $y_K≠y_J$, K n'est pas le milieu de [BC].

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III.Distance entre deux points

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Propriété

Soit $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points du plan.
La distance entre les points A et B est: $AB=√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Exemple

On reprend l'exemple précédent, et on suppose que le repère est orthonormé. On rappelle que $A(\,1,6\,;\,0,8\,)$ et $B(\,4,2\,;\,2,6\,)$
Calculer la distance AB

Solution...
Corrigé

On calcule: $(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2=(4,2-1,6)^2+(2,6-0,8)^2=2,6^2+1,8^2=10$
Donc, comme le repère est orthonormé, on obtient: $AB=√{10}≈3,16$

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