Corrigé

1. Pour trouver 2 points de $d$, il suffit, par exemple, de remplacer $x$ par 0 dans l'équation cartésienne, et de déterminer $y$,
   ou de remplacer $y$ par 0, et de déterminer $x$
   Ainsi, $x=0$ donne: $2×0-3y+1=0$, et par là: $y={1}/{3}$
   et $y=0$ donne: $2x-3×0+1=0$, et par là: $x={-1}/{2}$
   
   La droite $d$ passe par les points $A(0;{1}/{3})$ et $B({-1}/{2};0)$.
   D'où le tracé qui suit.
   
   Comme les 2 points proposés sont proches, on peut en chercher un troisième, en posant, par exemple, $x=3$, ce qui donne $y={7}/{3}$ (la croix rouge sur le graphique)
   
2. $d$ a pour équation cartésienne $2x-3y+1=0$.
   On pose: $a=2$, $b=-3$ et $c=1$.
   $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(-b;a)$
   Soit: ${u}↖{→}(3;2)$
   
3. On calcule: $2x_N-3y_N+1=2×4-3×3+1=0$
   Les coordonnées de N vérifient bien l'équation cartésienne de $d$.
   Donc le point $N(4;3)$ est sur $d$.
4. On calcule: $2x_P-3y_P+1=2×5-3×7+1=-10$
   Donc: $2x_P-3y_P+1≠0$
   Les coordonnées de P ne vérifient pas l'équation cartésienne de $d$.
   Donc le point $P(5;7)$ n'est pas sur $d$.

Corrigé

Méthode 1
Comme $d$ a pour vecteur directeur ${u}↖{→}(3;2)$, on pose: $-b=3$ et $a=2$.
Ce qui donne: $a=2$ et $b=-3$
Donc $d$ a une équation du type: $2x-3y+c=0$.
Et, comme $d$ passe par $A(-1;1)$, on obtient: $2×(-1)-3×1+c=0$.
Et par là: $c=5$
Donc $d$ a pour équation cartésienne: $2x-3y+5=0$.

Méthode 2
$M(x;y)∈d$ $⇔$ ${AM}↖{→}$ et ${u}↖{→}$ sont colinéaires.
Or ${AM}↖{→}$ a pour coordonnées: $(x+1;y-1)$.
Et ${u}↖{→}$ a pour coordonnées: $(3;2)$.
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $(x+1)×2-3×(y-1)=0$
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $2x+2-3y+3=0$
Donc: $M(x;y)∈d$ $⇔$ $2x-3y+5=0$
Ceci est une équation cartésienne de la droite $d$.

On note que: $2x-3y+5=0$ $⇔$ $-3y=-2x-5$ $⇔$ $y={-2x-5}/{-3}$ $⇔$ $y={2}/{3}x+{5}/{3}$
Quelque soit la méthode choisie pour trouver une équation cartésienne, on en déduit l'équation réduite:
$y={2}/{3}x+{5}/{3}$

Corrigé

On pose: $a={2}/{3}$, $b=-{5}/{7}$ et $a'=-{8}/{7}$, $b'={9}/{8}$.
On calcule $ab'-a'b={2}/{3}×{9}/{8}-(-{8}/{7})×(-{5}/{7})={18}/{24}-{40}/{49}=-{13}/{196}$
Donc: $ab'-a'b≠0$
Donc les droites ne sont pas parallèles.

Corrigé

1. Méthode 1: A savoir: une égalité du type $ax+by+c=0$ (avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls) est une équation cartésienne de droite.
Il est facile d'en trouver 2 points en remplaçant, par exemple, $x$ par 0 pour l'un, et $y$ par 0 pour l'autre.
La première ligne est associée à la droite $d_1$ passant par les points $A(0;1)$ et $B(-3;0)$.
Ici, pour trouver A, on a écrit: $0-3y+3=0$, ce qui a donné: $y=1$.
Et pour trouver B, on a écrit: $x-3×0+3=0$, ce qui a donné: $x=-3$.
De même, la seconde ligne est associée à la droite $d_2$ passant par les points $C(0;-1)$ et $D(1;0)$.

D'où les tracés suivants:


Méthode 2: Cette méthode consiste à retrouver les équations réduites des droites associées à chaque ligne.
$\{\table x-3y+3=0; x-y-1=0$ $⇔$ $\{\table -3y=-x-3; -y=-x+1$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; y=x-1$
La droite $d_1$ d'équation $y={1}/{3}x+1$ passe par $A(0;1)$ et son coefficient directeur vaut ${1}/{3}$.
La droite $d_2$ d'équation $y=x-1$ passe par $C(0;-1)$ et son coefficient directeur vaut $1$.
On retrouve les tracés obtenus avec la première méthode.

2. Graphiquement, on constate que $d_1$ et $d_2$ se coupent au point K de coordonnées $(3;2)$.
Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(3;2)$.

3. Avec les notations usuelles, on a: $a=1$, $b=-3$, $a'=1$ et $b'=-1$.
On calcule: $ab'-a'b=1×(-1)-1×(-3)=2$. On a donc: $ab'-a'b≠0$.
Donc le système a bien une solution unique.

Résolution:
Méthode 1: Nous allons procéder par combinaisons linéaires.
Les combinaisons choisies (produit d'une ligne par un nombre non nul, somme ou soustraction de lignes) sont explicitées à droite des lignes concernées.
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0,(L_1); x-y-1,=,0,(L_2)$
      $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0, (L_1); x-3y+3-x+y+1,=,0-0,(L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0,(L_1); -2y+4,=,0 ,(L_2)$
      $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0; y,=,2$
      $⇔$ $\{\table x-3×2+3,=,0 ; y,=,2 $
      $⇔$ $\{\table x=3 ; y=2 $
Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(3;2)$.

Méthode 2: Nous allons procéder par substitution.
(S) $⇔$ $\{\table y={-1}/{-3}x-{3}/{-3}; x-y-1=0$
Remplacer $y$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde ligne
      $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-({1}/{3}x+1)-1=0$
      $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-{1}/{3}x-1-1=0$
      $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; {2}/{3}x=2$
      $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x=2×{3}/{2}=3$
      $⇔$ $\{\table y={1}/{3}×3+1=2; x=3$
Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(3;2)$.

Méthode 3: Pour les curieux, nous allons procéder par combinaisons linéaires en choisissant d'éliminer $y$ cette fois-ci.
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0,(L_1); x-y-1,=,0,(L_2)$
      $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0, (L_1); 3x-3y-3,=,3×0,(3L_2 ⇨L_2)$
      $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0, (L_1); x-3y+3-3x+3y+3,=,0-0,(L_1-L_2 ⇨L_2)$
La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans la ligne $L_2$
(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0,(L_1); -2x+6,=,0 ,(L_2)$
      $⇔$ $\{\table x-3y+3,=,0; x,=,3$
      $⇔$ $\{\table 3-3y+3,=,0 ; x,=,3 $
      $⇔$ $\{\table y=2 ; x=3 $
On retrouve la solution du système $(x;y)=(3;2)$.

Méthode 4: Pour les curieux, nous allons procéder par substitution en choisissant d'éliminer $x$ cette fois-ci.
(S) $⇔$ $\{\table x=3y-3; x-y-1=0$
Remplacer $x$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans dans la seconde ligne
      $⇔$ $\{\table x=3y-3; x-y-1=0$
      $⇔$ $\{\table x=3y-3; 3y-3-y-1=0$
      $⇔$ $\{\table x=3y-3; 2y=4$
      $⇔$ $\{\table x=3y-3; y=2$
      $⇔$ $\{\table x=3×2-3=3; y=2$
Donc la solution du système est le couple $(x;y)=(3;2)$.