Les Maths en Seconde

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I Quelques définitions

Définition 1

Soit $\D$ une partie de $ℝ$.
On définit une fonction $f$ sur l'ensemble $\D$ lorsque l'on associe à chaque réel $x$ de $\D$ un unique réel $y$.
On note:      $\table f:, D\→ℝ; ,x ↦ y=f(x)$

Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur $\D$, on note simplement:       $y=f(x)$.

Le nombre $f(x)$ s'appelle l'image de $x$ par $f$. Pour un $x$ donné, il n'existe qu'un seul $f(x)$.
Si $y=f(x)$, alors le nombre $x$ est un antécédent de $y$ par $f$. Pour un $y$ donné, il peut n'exister aucun $x$, ou exister un ou plusieurs $x$, tels que $y=f(x)$.


Définition 2

Dans le plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\D$ est l'ensemble des points de coordonnées $(\ x\ ;\ f(x)\ )$ lorsque $x$ décrit l'ensemble $\D$.
On la note souvent: $\C_f$.

Dire que $\C_f$ a pour équation: $y=f(x)$, c'est dire que, pour tout nombre $x$ de $\D$,
            si le point de coordonnées $(x,y)$ est sur $\C_f$, alors $y=f(x)$,
            et si $y=f(x)$, alors le point de coordonnées $(x,y)$ est sur $\C_f$.

Remarque : $\C_f$ peut être "droite" ou "courbe", "continue" ou "discontinue".


Définition 3

Le domaine de définition d'une fonction $f$, souvent noté $\D_f$, est le plus grand ensemble de nombres réels $x$ tels que $f(x)$ existe.

Remarque : Le domaine de définition est une notion purement mathématique. Dans les mathématiques appliquées, il arrive souvent que la fonction considérée soit définie sur un ensemble $\D$ strictement inclus dans son domaine de définition $\D_f$.


Définition 4

La fonction $f$ définie sur l'intervalle I est strictement croissante si et seulement si les images $f(x)$ sont de plus en plus grandes quand $x$ augmente.

$f$ est strictement croissante sur I $⇔$ pour tous $a$ et $b$ de I, si $a<b$, alors $f(a)<f(b)$.

Définition 4 bis

La fonction $f$ définie sur l'intervalle I est strictement décroissante si et seulement si les images $f(x)$ sont de plus en plus petites quand $x$ augmente.

$f$ est strictement décroissante sur I $⇔$ pour tous $a$ et $b$ de I, si $a<b$, alors $f(a)>f(b)$.


Définition 5

s'il existe, le maximum M d'une fonction $f$ définie sur un ensemble $\D$ est la plus grande des images $f(x)$ lorsque $x$ décrit $\D$.

M est le maximum de $f$ sur $\D$    si et seulement si
il existe $c$ dans $\D$ tel que $f(c)=M$, et, pour tout $x$ de $\D$, $f(x)≤ M$

Définition 5 bis

s'il existe, le minimum $m$ d'une fonction $f$ définie sur un ensemble $\D$ est la plus petite des images $f(x)$ lorsque $x$ décrit $\D$.

$m$ est le minimum de $f$ sur $\D$    si et seulement si
il existe $c$ dans $\D$ tel que $f(c)=m$, et, pour tout $x$ de $\D$, $f(x)≥ M$

II Quelques exemples

Exemple 1

L'aire d'un carré dépend de la longueur de ses côtés.
Déterminer la fonction $f$ donnant l'aire (en $cm^2$) d'un carré de côté non nul $x$ (en $cm$).

Solution...
Corrigé

L'aire cherchée est donnée par la fonction:    $f(x)=x^2$     définie sur $\D=$] $0$ ; $+\∞$ [
On note également: $\D={ℝ}^{*}_{+}$

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Exemple 2

Pierre lance un dé et gagne une somme (en euros) qui dépend du résultat obtenu suivant le tableau suivant.
tableau de valeurs
Sur quel ensemble $\D$ est définie la fonction $f$?
Quelle est l'image de 6 par $f$? Que cela signifie-t-il?

Solution...
Corrigé

$f$ est définie sur $\D=\{1,2,3,4,5,6\}$
On notera que le tableau de valeurs est "complet" (il contient bien toutes les valeurs de $\D$).

L'image de 6 par $f$ est 100.    On écrit aussi: $f(6)=100$
Cela signifie que, si le résultat du dé est 6, alors Pierre gagne 100 euros.

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Exemple 3

Les âges $x$ (en années) et les tailles $y$ (en $cm$) des 12 enfants d'un village sont répertoriées dans le tableau ci-dessous:
tableau de valeurs
Il est clair que la taille dépend de l'âge. Mais peut-on dire que la taille $y$ est une fonction de l'âge $x$ ?

Solution...
Corrigé

La taille $y$ n'est pas une fonction de l'âge $x$.
En effet, chaque valeur de $x$ n'est pas associée à une unique "image" $y$.
Par exemple, pour $x=6$, il y a deux $y$ possibles qui sont 105 et 112.

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Exemple 4

On introduit une substance S dans un liquide contenant un certain type de micro-organismes afin d'en stopper la prolifération.
Le nombre de micro-organismes varie en fonction du temps écoulé depuis l'introduction de la substance S.
Le nombre (en millions) de micro-organismes présents au bout du temps $x$ (en heures) écoulé depuis l'introduction de la substance S est donné par la fonction $f$ représentée ci-après.
graphique de fonction

  1. Sur quel ensemble $\D$ est définie la fonction $f$?
  2. Quelle est l'image de 0,4 par $f$? Que cela signifie-t-il?
  3. Quelle est l'image de 5,7 par $f$? Que cela signifie-t-il?
  4. Quels sont les antécédents de 12 par $f$?
  5. Résoudre l'équation $f(x)=12$
  6. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;7]$
  7. A l'aide du tableau précédent, comparer $f(4)$ à $f(4,1)$
  8. Quel est le maximum M de $f$ sur $[0;7]$? Pour quel $x$ est-il atteint?
  9. Quel est le minimum $m$ de $f$ sur $[0;7]$? Pour quel $x$ est-il atteint?
Solution...
Corrigé
  1. La fonction $f$ est définie sur $\D=$[ $0$ ; $7$ ]
    Eventuellement, on peut proposer que $f$ soit définie sur $\D=$[ $0$ ; $+\∞$ [

  2. L'image de 0,4 par $f$ est 12.     On écrit aussi: $f(0,4)=12$
    Cela signifie que, au bout de $0,4$ heures, le nombre de micro-organismes présents est de 12 millions.
    Remarque: $0,4$ heures représentent 24 minutes.

  3. L'image de 2,7 par $f$ est 12.     On écrit aussi: $f(5,7)=12$
    Cela signifie que, au bout de $5,7$ heures, le nombre de micro-organismes présents est de 12 millions.
    Remarque: $5,7$ heures représentent 5 heures et 42 minutes.

  4. Les antécédents de 12 par $f$ sont $0,4$ et $5,7$.
    Remarque: noter l'utilisation de la conjonction "et" car on énumère les antécédents.

  5. Chercher les antécédents de 12 par $f$ revient à résoudre l'équation $f(x)=12$.
    Donc:   $f(x)=12$ $⇔$ $ x=0,4$ ou $x=5,7$
    Par conséquent, l'ensemble des solutions est: $\S=\{\,0,4\,;\,5,7\,\}$
    Remarque: dans la résolution de l'équation, noter l'utilisation de la conjonction "ou" qui a un caractère logique.

  6. Voici le tableau de variations de $f$ sur $[0;7]$
    tableau de variations

  7. On a: $4<4,1$.
    Or, d'après le tableau précédent, $f$ est strictement décroissante entre 4 et 4,1.
    Donc: $f(4)>f(4,1)$

  8. Le maximum de $f$ sur $[0;7]$ est $M=16,7$.
    Il est atteint pour $x=3,6$

  9. Le minimum de $f$ sur $[0;7]$ est $m=0$.
    Il est atteint pour $x=7$
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Exemple 5

Déterminer le domaine de définition de $f$ définie par $f(x)={1}/{x-2}$

Solution...
Corrigé

On rappelle qu'un quotient n'existe que si son dénominateur n'est pas nul.
On doit avoir: $x-2≠0$, c'est à dire: $x≠2$
Donc: $\D_f=$] $-\∞$ ; $2$ [$∪$] $2$ ; $+\∞$ [
On peut aussi écrire: $\D_f=ℝ\\\{2\}$

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Exemple 6

Déterminer le domaine de définition de $g$ définie par $g(x)=√ {x-3}$

Solution...
Corrigé

On rappelle que la racine carrée d'un nombre n'existe que si ce nombre est positif ou nul.
On doit avoir: $x-3≥$, c'est à dire: $x≥3$
Donc: $\D_g=$[ $3$ ; $+\∞$ [

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