Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

logo maths-bac Nombres et calculs

I Les ensembles de nombres

Notation

Pour décrire certains ensembles, on peut écrire la liste de leurs éléments entre 2 accolades.

Exemple

L'ensemble des résultats d'un dé est: $\{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \}$

Définition 1

L'ensemble des entiers naturels est noté $ℕ$; on a donc: $ℕ= \{ 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...\}$


Définition 2

L'ensemble des entiers relatifs est noté $ℤ$; on a donc: $ℤ= \{ ... ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...\}$


Rappel:
   $10^0=1$       $10^1=10$
   $10^2=10×10=100$       $10^3=10×10×10=1000$

Définition 3

L'ensemble des nombres décimaux est noté ens des décimaux.
Les nombres décimaux sont les nombres qui s'écrivent comme quotient d'un entier par $10^k$, où $k$ est un entier naturel.

Exemples de nombres décimaux

$0={0}/{1}$       $1={1}/{1}$       $5={5}/{1}$       $32,1759={321 759}/{10 000}={321 759}/{10^4}$       $-7,1={-71}/{10}$

Propriété 1

Un nombre est décimal si et seulement si il admet une écriture décimale limitée.

Exemple

Montrons que $12,726$ est un décimal de 2 façons difféentes.
Méthode 1 (en utilisant la propriété 1): $12,726$ est un décimal car il admet une écriture décimale limitée.
Méthode 2 (en utilisant la définition): $12,726$ est un décimal car il peut s'écrire ${12\,726}/{10^3}$


Définition 4

L'ensemble des nombres rationnels est noté $ℚ$. Les nombres rationnels sont les nombres qui s'écrivent comme quotient de 2 entiers.

Exemples de nombres rationnels

$5={5}/{1}$       $14,2={142}/{10}$        ${1}/{3}$        ${-2}/{7}$

Propriété 2

Un nombre rationnel non nul écrit sous la forme d'une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ est un nombre décimal si et seulement si $q=2^m×5^n$ (avec $m$ et $n$ entiers naturels).

Remarque. Dans la pratique, un nombre rationnel n'est pas décimal si et seulement si il est impossible de l'écrire sous forme décimale avec un nombre fini de décimales.
La caractère non décimal d'un nombre peut donc se conjecturer à l'aide d'une calculatrice, mais on rappelle qu'une conjecture n'est qu'une hypothèse!

Exemple

a. Le rationnel non nul ${7}/{26}$ est-il décimal?
b. Le rationnel non nul ${11}/{20}$ est-il décimal?

Solution...
Corrigé

a. A la calculatrice, on obtient: ${7}/{26}≈0,2692307692$. L'écriture décimale semble illimitée. Mais ce n'est pas certain! Démontrons que ${7}/{26}$ n'est pas décimal à l'aide de la propriété 2.
${7}/{26}={7}/{2×13}$.
La fraction est irréductible, mais $26=2×13$ ne peut pas s'écrire sous la forme $2^m×5^n$ (avec $m$ et $n$ entiers naturels).
Donc ${7}/{26}$ n'est pas décimal.

b. Démontrons que ${11}/{20}$ est décimal de 3 façons différentes.
Méthode 1.
${11}/{20}={11}/{2^2×5}$.
La fraction est irréductible, et son dénominateur est écrit sous la forme $2^m×5^n$ (avec $m=2$ et $n=1$ entiers naturels).
Donc ${11}/{20}$ est décimal.
Méthode 2.
${11}/{20}={11}/{2^2×5}={11×5}/{2^2×5×5}={55}/{(2×5)^2}={55}/{10^2}$.
Donc, par définition, ${11}/{20}$ est décimal.
Méthode 3.
On calcule: ${11}/{20}=0,55$. L'écriture décimale est limitée. Donc ${11}/{20}$ est décimal.
La méthode 3 est la plus rapide!.

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Définition 5

L'ensemble des nombres réels est noté $ℝ$. Les nombres rées sont les abscisses de tous les points d'une droite graduée. Une telle droite s'appelle droite des réels.

Exemples de nombres réels

$0$        $1$        $-2,7$        ${1}/{3}≈0,3333$       $√{2}≈1,4124$        $ π≈3,1416$
Ces nombres se placent sur la droite des réels ci-dessous.
ens des réels

Propriété 3

Les ensembles de nombres précédents sont inclus (contenus) les uns dans les autres.
$ℕ$ est inclu dans $ℤ$. $ℤ$ est inclu dans ens des décimaux. ens des décimaux est inclu dans $ℚ$. $ℚ$ est inclu dans $ℝ$.
On note: $ℕ⊂ℤ⊂$ens des décimaux$⊂ℚ⊂ℝ$.

Représentation par un diagramme de Venn
ens de nombres


Définition 6

La nature d'un nombre est liée au plus petit ensemble parmi $ℕ$, $ℤ$, ens des décimaux, $ℚ$ et $ℝ$ auquel il appartient.

Exemple

Donner, sans justifier, la nature de chacun des nombres suivants:
$3$       $2,1$       ${1}/{3}$        $√{2}$       et        $π$.

Solution...
Corrigé

$3$ est un entier naturel.
$2,1$ est un décimal.
${1}/{3$ est un rationnel (ce n'est pas un décimal).
$√{2}$ et $π$ sont des réels (ce ne sont pas des rationnels; on dit que ce sont des irrationnels).

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Propriété 4

Si un entier naturel n'est pas un carré d'entier, alors sa racine carrée est nombre irrationnel.

Remarque. On peut conjecturer le caractère irrationnel d'un réel à l'aide de la calculatrice grâce à la propriété suivante.
Un nombre est irrationnel si et seulement si son développement décimal n'est pas périodique.

Exemple

Expliquer pourquoi $√{14}$ est un nombre irrationnel.

Solution...
Corrigé

A la calculatice, on obtient: $√{14}≈3,741657387$. L'écriture décimale semble illimitée et non périodique. On conjecture que $√{14}$ est irrationnelle, mais on n'en est pas certain!
Démontrons le à l'aide de la propriété 4.

On a: $3^2<14<4^2$. Donc 14 est strictement compris entre 2 carrés d'entiers consécutifs. Donc 14 n'est pas un carré d'entiers. Donc $√{14}$ est irrationnelle.

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II Intervalles. Encadrements.

Définition 1

Un intervalle réel est un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a<b$.
L'ensemble des réels $x$ tels que $a≤ x≤ b$ est l'intervalle noté [ $a$ ; $b$ ]
L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x< b$ est l'intervalle noté ] $a$ ; $b$ [
L'ensemble des réels $x$ tels que $a≤ x<b$ est l'intervalle noté [ $a$ ; $b$ [
L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x≤ b$ est l'intervalle noté ] $a$ ; $b$ ]
L'ensemble des réels $x$ tels que $a≤ x$ est l'intervalle noté [ $a$ ; $+\∞$ [
L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x$ est l'intervalle noté ] $a$ ; $+\∞$ [
L'ensemble des réels $x$ tels que $ x≤ b$ est l'intervalle noté ] $-\∞$ ; $b$ ]
L'ensemble des réels $x$ tels que $x < b$ est l'intervalle noté ] $-\∞$ ; $b$ [

Aux intervalles précédents s'ajoutent les intervalles suivants:
l'ensemble vide, noté    $∅$
les singletons du type    $\{a\} =$ [ $a$ ; $a$ ]
l'ensemble des nombres réels    $ℝ = ] -\∞$ ; $+ \∞ [$

Définition 2

Les 4 premiers types d'intervalles de la définition précédente ont pour longueur $b-a$.
Un singleton a une longueur nulle.

Définition 3

Soient I et J deux intervalles.
La réunion de I et de J, notée $I∪ J$, est l'ensemble des réels appartenant à I, ou à J, ou à I et à J à la fois.
L'intersection de I et de J, notée $I∩ J$, est l'ensemble des réels appartenant à I et à J à la fois.

Exemple

Soit $I=[-1;3[$ et $J=]0;4]$.
Déterminer $I∪ J$ et $I∩ J$.

Solution...
Corrigé

Le symbole   $⇔$    signifie    "équivaut à"    ou    "si et seulement si"

$x∈ I$ $⇔$ $-1≤ x<3$ (zone rouge sur le dessin ci-dessous)
$x∈ J$ $⇔$ $0< x≤ 4$ (zone bleue sur le dessin ci-dessous)

intervalles

$x∈ I∪ J$ $⇔$ $-1≤ x<3$ ou $0< x≤ 4$ $⇔$ $-1≤ x≤ 4$
Donc: $I∪ J=[-1:4]$ (zone rouge ou bleue ou bicolore sur le dessin ci-dessous)

$x∈ I∩ J$ $⇔$ $-1≤ x<3$ et $0< x≤ 4$ $⇔$ $0< x<3$
Donc: $I∩ J=]0;3[$ (zone rouge et bleue sur le dessin ci-dessous)

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Définition 4

Donner un encadrement décimal d'un réel $x$, c'est donner 2 nombres décimaux $a$ et $b$ tels que $a≤ x≤ b$.
Le nombre $b-a$ est appelé amplitude de l'encadrement.
Un encadrement est à $10^{-n}$ près (où $n$ est un entier) si son amplitude vaut $10^{-n}$

Exemple

Donner un encadrement décimal d'amplitude $10^{-2}$ de $√{2}$ sachant que $√{2}≈1,414$

Solution...
Corrigé

Un encadrement convenable est $1,41≤√{2}≤1,42$ car $1,42-1,41=0,01=10^{-2}$

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III Valeur absolue.

Définition 1

Soient $a$ et $b$ deux réels.
La valeur absolue de $b-a$, notée $|b-a|$, est la distance entre les nombres $b$ et $a$ (sur la droite des réels).

Propriété 1

Pour tous réels $a$ et $b$, on a: $|b-a|=|a-b|$

Exemple

Déterminer $|2,5-1|$, $|1-4,2|$, $|2,5+1|$ et $|-2,5-1|$

Solution...
Corrigé

valeur absolue
$|2,5-1|=2,5-1=1,5$ (en rouge sur le dessin ci-dessus)
$|1-4,2|=|4,2-1|=4,2-1=3,2$ (en bleu sur le dessin ci-dessus)
$|2,5+1|=|2,5-(-1)|=2,5+1=3,5$ (en vert sur le dessin ci-dessus)
$|-2,5-1|=|1-(-2,5)|=1+2,5=3,5$ (en rose sur le dessin ci-dessus)

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Propriété 2

Si $a$ est un nombre réel, alors $|a|$ est la distance entre $a$ et 0.
Si $a≥ 0$, alors $|a|=a$.
Si $a≤ 0$, alors $|a|=-a$.

Exemple

On a: $|7,3|=7,3$       $|-9,18|=-(-9,18)=9,18$       $|0|=0$


Propriété 3

Soit $a$ un réel quelconque et $r$ un réel strictement positif.
$x ∈ [a-r$ ; $a+r]$ $⇔$ $a-r≤ x≤ a+r$ $⇔$ $|x-a|≤ r$

valeur absolue et encadrement
Exemple

Ecrire avec une valeur absolue le fait que $x$ appartienne à l'intervalle [3;5]

Solution...
Corrigé

L'astuce est de repérer le centre de l'intervalle!
$x ∈ [3$ ; $5]$   $⇔$   $x ∈ [4-1$ ; $4+1]$    $⇔$   $4-1≤ x≤ 4+1$    $⇔$   $|x-4|≤ 1$

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IV Arithmétique.

Définition 1

Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs.
$n$ est un multiple de $m$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $n=k× m$

Définition 2

Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs.
$m$ est un diviseur de $n$ si et seulement $n$ est un multiple de $m$

Propriété 1

Soient $n$ et $m$ deux entiers relatifs.
$m$ est un diviseur de $n$ si et seulement le reste de la division euclidienne de $n$ par $m$ vaut 0

Exemple

Comme $-12=3×(-4)$, l'entier $-4$ est un diviseur de $-12$.
On peut aussi affirmer que $-12$ est un multiple de $-4$.
Et en utilisant l'écriture $-12=3×(-4)+0$, on constate que le reste de la division euclidienne de $-12$ par $-4$ vaut 0, ce qui confirme les affirmations précédentes.
En fait, les diviseurs de $-12$ sont: $-12$, $-6$, $-4$, $-3$, $-2$, -1$, 1, 2, 3, 4, 6 et 12.


Propriété 2

La somme de 2 multiples d'un entier relatif $a$ est aussi un multiple de $a$.

Exemple

Montrons que $87\,231+17\,565$ est un multiple de 3 sans calculer la somme donnée.
On calcule: $8+7+2+3+1=21$. Le résultat est divisible par 3. Donc le nombre $87\,231$ est divisible par 3.
On calcule: $1+7+5+6+5=24$. Le résultat est divisible par 3. Donc le nombre $17\,565$ est divisible par 3.
Comme $87\,231$ et $17\,565$ sont divisibles par 3, leur somme l'est aussi.
Donc $87\,231+17\,565$ est un multiple de 3.


Définition 3

Un entier naturel $n$ est pair si et seulement si il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k$.
Un entier naturel $n$ est impair si et seulement si il existe un entier naturel $k$ tel que $n=2k+1$

Propriété 3

Un entier naturel est: soit pair (c'est un multiple de 2), soit impair (ce n'est pas un multiple de 2).

Exemple

Montrons que la somme $s$ de 2 entiers naturels impairs est paire.
Les 2 naturels impairs peuvent s'écrire $2k+1$ pour l'un et $2k'+1$ pour l'autre (avec $k$ et $k'$ entiers naturels).
Donc leur somme $s$ vérifie: $s=2k+1+2k'+1=2k+2k'+2=2(k+k'+1)$
Et comme $k+k'+1$ est évidemment un entier naturel, la somme $s$ est donc paire.



Propriété 4

Le carré d'un nombre impair est un nombre impair.

Exemple

Montrer sans calculatrice que $x=(2×731+1)^2-1$ est pair.

Solution...
Corrigé

Par définition, $2×731+1$ est impair .
Donc: $(2×731+1)^2$ est impair également (d'après la propriété 4).
Donc il existe un entier $k$ tel que $(2×731+1)^2=2k+1$ (par définition)
Et par là: $x=2k+1-1=2k$
Cela prouve que $x$ est pair (par définition).

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Définition 4

Un entier naturel est un nombre premier si et seulement si il admet exactement 2 diviseurs positifs, 1 et lui même.

Propriété 5

Les 10 premiers nombres premiers sont: 2 ,3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

Propriété 6

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2.
Si aucun des nombres premiers inférieur ou égaux à $√{n}$ n'est un diviseur de $n$, alors $n$ est un nombre premier.

Exemple

Démontrer que 31 est un nombre premier.

Solution...
Corrigé

31 est un entier supérieur ou égal à 2.
$√{31}≈5,6$.
Les nombres premiers inférieur ou égaux à $√{31}$ sont 2, 3 et 5.
Or aucun d'eux n'est un diviseur de 31.
Donc 31 est un nombre premier.

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Propriété 7

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 s'écrit:
soit comme une puissance d'un nombre premier,
soit comme produit de puissances de nombres premiers.
Cette décomposition en produit de nombres premiers est unique, à l'ordre des facteurs près.

Exemples

$8=2^3$       $10=2×5$
$2268=2×1134=2×2×567=2^2×3×189=2^2×3×3×63=2^2×3^2×3×21=2^2×3^3×3×7=2^2×3^4×7$

Propriété 8

Tout rationnel admet une écriture sous forme de fraction irréductible, c'est à dire sous la forme ${p}/{q}$, où $p$ et $q$ sont deux entiers ayant pour seuls diviseurs communs $1$ et $-1$.

Cette écriture s'obtient facilement en décomposant numérateurs et dénominateurs en produits de nombres premiers.

Exemple

Sans calculatrice, écrire ${616}/{2268}$ sous forme irréductible.

Solution...
Corrigé

Nous décomposons numérateurs et dénominateurs en produits de nombres premiers, puis on simplifie, si possible, la fraction obtenue.
On a: $616=2×308=2×2×154=2×2×2×77=2×2×2×7×11=2^3×7×11$
On a vu précédemment que: $2268=2^2×3^4×7$
Donc finalement: ${616}/{2268}={2^3×7×11}/{2^2×3^4×7}={2×11}/{3^4}={22}/{81}$

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V Calcul littéral.

Propriété 1

Soient $a$ et $b$ deux réels (si besoin non nuls), et $m$ et $n$ deux entiers relatifs.

$a^m× a^n=a^{m+n}$             ${a^m}/{a^n}=a^{m-n}$             $(a^{m})^n=a^{m× n}$

$(a× b)^n=a^n× b^n$             $({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$


Définition 1

Soit $a$ un nombre réel positif.
Le nombre positif dont le carré est $a$ s'appelle la racine carrée de $a$ et se note $√{a}$.

Remarque: Soit $a$ un nombre réel positif. On a alors l'égalité: $(√{a})^2=a$ (par définition)

Propriété 2

Soit $a$ un nombre réel quelconque. On a alors l'égalité: $√{a^2}=|a|$


Propriété 3

Pour tous nombres $a$ et $b$ positifs, on a: $√{a}×√{b}=√{a× b}$

Pour tout nombre $a$ positif et tout nombre $b$ strictement positif, on a: ${√{a}}/{√{b}}=√{{a}/{ b}}$

Pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs, on a: $√{a}+√{b}>√{a+ b}$


Propriété 4

Soient $a$ et $b$ deux réels. On a alors les trois identités remarquables suivantes.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$       $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$      $(a-b)×(a+b)=a^2-b^2$

Le passage du membre de gauche à celui de droite est un développement.
Le passage du membre de droite à celui de gauche est une factorisation.

Exemple

Factoriser chacune des expressions suivantes.
$f(x)=x^2+6x+9$        $g(x)=9x^2-12x+4$       $h(x)=16x^2-6,25$

Solution...
Corrigé

Lors d'une factorisation, si le facteur commun n'est pas évident, alors il est conseillé d'utiliser, si possible, une identité remarquable.
Le nombre de termes et leurs signes permettent de choisir l'identité correcte.

On a: $f(x)=x^2+6x+9=x^2+2×x×3+3^2$
Donc: $f(x)=(x+3)^2$

On a: $g(x)=9x^2-12x+4=(3x)^2-2×3x×2+2^2$
Donc: $g(x)=(3x-2)^2$

On a: h(x)=16x^2-6,25=(4x)^2-2,5^2
Donc: $h(x)=(4x-2,5)(4x+2,5)$

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