Les Maths en Seconde

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Orthogonalité

I Trigonométrie et triangle rectangle

Définition

triangle rectangle, cos et sin

Si OBC est rectangle en B, alors:
$\cos O↖{∧}={OB}/{OC}={côté\,adjacent}/{hypoténuse}$       $\sin O↖{∧}={BC}/{OC}={côté\, opposé}/{hypoténuse}$       $\tan O↖{∧}={BC}/{OB}={côté\, opposé}/{côté\,adjacent}$

Propriété

Si OBC est rectangle en B, et si $α$ est un angle aigü de ce triangle, alors:
$0≤\cos α≤1$      $0≤\sin α≤1$      $\cos^2 α+\sin^2 α=1$
$\tan α={\sin α}/{\cos α}$

Notation:
$\cos (α)=\cos α$       $\cos^2 α=(\cos α)^2=(\cos α) ×(\cos α)$
$\sin (α)=\sin α$       $\sin^2 α=(\sin α)^2=(\sin α) ×(\sin α)$
$\tan (α)=\tan α$       $\tan^2 α=(\tan α)^2=(\tan α) ×(\tan α)$

Exemple

ABC est rectangle en B.       $AB=5$.       $A↖{∧}=60°$.
Déterminer BC et CA.

Solution...
Corrigé

ABC est rectangle en B.
Donc: $\cos A↖{∧}={AB}/{AC}$
Soit: $\cos 60°={5}/{AC}$
Et donc: $AC={5}/{\cos 60°}$
Soit: $AC={5}/{0,5}=$$10$

triangle rectangle

ABC est rectangle en B.
Donc, d'après le théorème de pythagore, on a: $AC^2=AB^2+BC^2$
Et par là: $BC^2=AC^2-AB^2=10^2-5^2=75$
Et donc, comme BC est positif, on obtient: $BC=√{75}=$$5√{3}$$≈8,7$

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II Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Définition

Soient A un point et $d$ une droite
Le projeté orthogonal de A sur $d$ est le point H de $d$ tel que (AH) est perpendiculaire à $d$

projete orthogonal

Propriété et définition

Soient A un point et $d$ une droite
Le projeté orthogonal H de A sur $d$ est le point de $d$ le plus proche de A.
La distance AH est appelée distance du point A à la droite $d$.

Exemple

On reprend le triangle ABC de l'exemple précédent. On rappelle que:
ABC est rectangle en B.       $AB=5$.       $A↖{∧}=60°$.
Par ailleurs: $AC=10$       $BC=5√{3}$

Soit M un point de la droite (AB). Comparer $CM$ à $5√{3}$.

Solution...
Corrigé

ABC est rectangle en B.
Donc B est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
Donc la distance entre C et la droite (AB) vaut CB, c'est à dire $5√{3}$.
Donc, comme M est sur (AB), on a: $CM≥5√{3}$.
projete orthogonal

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Définition

Soit $\C$ un cercle de centre O et H un point de $\C$.
Une droite $d$ est tangente à $\C$ en H lorsque $d$ passe par H et qu'elle est perpendiculaire à $(OH)$.

tangente et cercle
Exemple

Soit $\C$ un cercle de centre O et de rayon $r$.

  1. Montrer que, si $d$ est une droite tangente à $\C$ en un point H, alors la distance entre O et $d$ vaut $r$.
  2. Montrer que, si $d$ est une droite telle que la distance entre O et $d$ vaut $r$, alors $d$ est tangente à $\C$ en un point H.
  3. Soit M un point situé sur la tangente à $\C$ en H. Comparer $r$ et $OM$.
Solution...
Corrigé
  1. $\C$ un cercle de centre O et de rayon $r$. Et $d$ est tangente à $\C$ en H.
    Donc, d'une part: $OH=r$  (1),
    et d'autre part, $d$ passe par H et elle est perpendiculaire à $(OH)$.
    Donc H est le projeté orthogonal de O sur la droite $d$.
    Donc, d'après (1), la distance entre O et $d$ vaut $OH=r$.

  2. Soit H le projeté orthogonal de O sur la droite $d$.
    Donc H est sur $d$ et (OH) est perpendiculaire à $d$  (2).
    Et, comme la distance entre O et $d$ vaut $r$, on a de plus: $OH=r$,
    ce qui implique que H appartienne au cercle $\C$ de centre O et de rayon $r$.
    Donc, d'après (2), $d$ est tangente à $\C$ au point H.

  3. projete orthogonal et cercle
    Comm M est sur la tangente $d$ à $\C$ en H, et que la distance entre O et $d$ vaut $r$, on a: $OM≥r$.
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