ABC est rectangle en B.
Donc: $\cos \stackrel{\wedge }{\mathit{A}}=\frac{\mathit{A}\mathit{B}}{\mathit{A}\mathit{C}}$
Soit: $\cos 60°=\frac{5}{\mathit{A}\mathit{C}}$
Et donc: $\mathit{A}\mathit{C}=\frac{5}{\cos 60°}$
Soit: $\mathit{A}\mathit{C}=\frac{5}{0,5}=$$10$

ABC est rectangle en B.
Donc, d'après le théorème de pythagore, on a: $\mathit{A}{\mathit{C}}^2=\mathit{A}{\mathit{B}}^2+\mathit{B}{\mathit{C}}^2$
Et par là: $\mathit{B}{\mathit{C}}^2=\mathit{A}{\mathit{C}}^2-\mathit{A}{\mathit{B}}^2={10}^2-5^2=75$
Et donc, comme BC est positif, on obtient: $\mathit{B}\mathit{C}=\sqrt{75}=$$5\sqrt{3}$$\approx 8,7$

Autre méthode
ABC est rectangle en B.
Donc: $\sin \stackrel{\wedge }{\mathit{A}}=\frac{\mathit{B}\mathit{C}}{\mathit{A}\mathit{C}}$
Soit: $\sin 60°=\frac{\mathit{B}\mathit{C}}{10}$
Et donc: $\mathit{B}\mathit{C}=10\times \sin 60°$
Soit: $\mathit{B}\mathit{C}=10\times \frac{\sqrt{3}}{2}=$$5\sqrt{3}$$\approx 8,7$

ABC est rectangle en B.
Donc B est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).
Donc la distance entre C et la droite (AB) vaut CB, c'est à dire $5\sqrt{3}$.
Donc, comme M est sur (AB), on a: $\mathit{C}\mathit{M}\ge 5\sqrt{3}$.

1. $\mathrm{C}$ un cercle de centre O et de rayon $\mathit{r}$. Et $\mathit{d}$ est tangente à $\mathrm{C}$ en H.
   Donc, d'une part: $\mathit{O}\mathit{H}=\mathit{r}$  (1),
   et d'autre part, $\mathit{d}$ passe par H et elle est perpendiculaire à $\left(\mathit{O}\mathit{H}\right)$.
   Donc H est le projeté orthogonal de O sur la droite $\mathit{d}$.
   Donc, d'après (1), la distance entre O et $\mathit{d}$ vaut $\mathit{O}\mathit{H}=\mathit{r}$.


2. Soit H le projeté orthogonal de O sur la droite $\mathit{d}$.
   Donc H est sur $\mathit{d}$ et (OH) est perpendiculaire à $\mathit{d}$  (2).
   Et, comme la distance entre O et $\mathit{d}$ vaut $\mathit{r}$, on a de plus: $\mathit{O}\mathit{H}=\mathit{r}$,
   ce qui implique que H appartienne au cercle $\mathrm{C}$ de centre O et de rayon $\mathit{r}$.
   Donc, d'après (2), $\mathit{d}$ est tangente à $\mathrm{C}$ au point H.


3. 
   Comm M est sur la tangente $\mathit{d}$ à $\mathrm{C}$ en H, et que la distance entre O et $\mathit{d}$ vaut $\mathit{r}$, on a: $\mathit{O}\mathit{M}\ge \mathit{r}$.