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Pourcentages simples

$t%$ d'un nombre s'obtient en multipliant le nombre par ${t}/{100}$

Exemple

Un objet vaut 110 euros hors taxes. La TVA (taxe sur la valeur ajoutée) s'élève à 6,05 euros.
Quel pourcentage du prix hors taxes représente la TVA?

Solution...
Corrigé

Soit $t%$ la valeur cherchée.
Méthode 1
On a: ${t}/{100}×110=6,05$
Et donc: $t=6,05×{100}/{110}=5,5$
La TVA représente donc $5,5%$ du prix HT.

Méthode 2
On dresse le tableau de proportionnalité suivant
tableau de proportionnalité
Et donc: $t={6,05×100}/{110}=5,5$
La TVA représente donc $5,5%$ du prix HT.

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Pourcentages de pourcentages

Un pourcentage de pourcentage s'obtient en multipliant les pourcentages.

Exemple

$60%$ des élèves d'un lycée sont des filles.
$10%$ des filles du lycée pratiquent la danse.
Quel pourcentage des élèves du lycée représentent les filles du lycée qui pratiquent la danse?

Solution...
Corrigé

On calcule: $10%×60%={10}/{100}×{60}/{100}={6}/{100}=0,06=6%$
Les filles du lycée qui pratiquent la danse représentent $6%$ des élèves du lycée.

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Evolution en pourcentage

Soient $V_D$ et $V_A$ et $t$ trois nombres positifs.

$V_D$ augmenté de $t%$ devient $V_A$
si et seulement si
$V_A=V_D×(1+t%)$

$V_D$ diminué de $t%$ devient $V_A$
si et seulement si
$V_A=V_D×(1-t%)$

Exemple

Un objet est vendu 83,72 euros TTC (toutes taxes comprises).
La TVA représente $19,6%$ du prix HT (hors taxes).
Soit $p$ le prix HT. Que vaut $p$?

Solution...
Corrigé

On a: $p×(1+19,6%)=83,72$
Soit: $1,196p=83,72$
Et donc: $p={83,72}/{1,196}=70$
Le prix HT est de 70 euros.

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Définition

Soit $t$ un réel strictement positif.

Si une grandeur strictement positive est augmentée de $t%$, alors $t%$ est appelé taux d'augmentation (ou pourcentage d'augmentation).
Le nombre $1+t%$ est appelé coefficient multiplicateur et il est strictement supérieur à 1.

Si une grandeur strictement positive est diminuée de $t%$, alors $t%$ est appelé taux de diminution (ou pourcentage de baisse).
Le nombre $1-t%$ est appelé coefficient multiplicateur et il est strictement inférieur à 1.

Le coefficient multiplicateur correspond à la valeur d'arrivée ($V_A$) lorsque la valeur de départ ($V_D$) vaut $100%=1$.

Propriété

Soient $V_D$ et $V_A$ et $t$ trois nombres positifs.
$t%$ est le taux d'évolution pour passer de $V_D$ à $V_A$.

En cas de hausse: $t%={V_A-V_D}/{V_D}$

En cas de baisse: $t%={V_D-V_A}/{V_D}$

Exemple 1

Le salaire d'un employé passe de 1450 euros par mois à 1529,75 euros par mois. Quelle est l'augmentation en pourcentage?

Solution...
Corrigé

Soit $t%$ la hausse cherchée.
Méthode 1
On a: $t%={V_A-V_D}/{V_D}$
Soit: ${t}/{100}={1529,75-1450}/{1450}$
Soit: ${t}/{100}=0,055={5,5}/{100}$
Donc $t=5,5$
Et par là: $t%=5,5%$
Le salaire a augmenté de $5,5%$

Méthode 2
On a: $V_A=V_D×(1+t%)$
Soit: $1529,75=1450×(1+t%)$
Donc: ${1529,75}/{1450}=1+t%$
Soit: $1+t%=1,055=1+5,5%$
Et par là: $t%=5,5%$
Le salaire a augmenté de $5,5%$
Remarque: le coefficient multiplicateur de $1,055=105,5%$ correspond bien à une hausse de $5,5%$ (pour passer de $100%$ à $105,5%$)

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Exemple 2

Le stock d'une entreprise subit une baisse de $t%$. Il passe de 250 kg à 200 kg. Que vaut $t$?

Solution...
Corrigé

Méthode 1
On a: $t%={V_D-V_A}/{V_D}$
Soit: ${t}/{100}={250-200}/{250}$
Soit: ${t}/{100}=0,20={20}/{100}$
Donc $t=20$
Et par là: $t%=20%$
Le stock a baissé de $20%$

Méthode 2
On a: $V_A=V_D×(1-t%)$
Soit: $200=2450×(1-t%)$
Donc: ${200}/{250}=1-t%$
Soit: $1-t%=0,80=1-20%$
Et par là: $t=20$
Le stock a baissé de $20%$
Remarque: le coefficient multiplicateur de $0,80=80%$ correspond bien à une baisse de $20%$ (pour passer de $100%$ à $80%$)

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Définition

Soient $V_D$ et $V_A$ et $t$ trois nombres positifs.
Si $t%$ est le taux d'évolution pour passer de $V_D$ à $V_A$, alors le taux d'évolution réciproque est celui qui permet de passer de $V_A$ à $V_D$.

Exemple 1

Une action vient de baisser de $10%$. De quel pourcentage doit-elle remonter pour retrouver sa valeur initiale?

Solution...
Corrigé

On cherche l''évolution réciproque d'une baisse de $10%$.

Méthode 1
Si $V_D$ est la valeur initiale de l'action, et $V_A$ sa valeur après la baisse, et si $t%$ est le pourcentage cherché, alors on a:
$V_A=V_D×(1-10%)$ et $V_D=V_A×(1+t%)$
Donc: $V_A=V_A×(1+t%)×(1-10%)$
Et, en divisant chaque membre par $V_A$ (non nul), on obtient:
$1=(1+t%)×(1-10%)$
Et donc: $1+t%={1}/{1-10%}≈1,111$
L'action doit remonter d'environ $11,1%$ pour retrouver sa valeur initiale.

Méthode 2
On cherche la hausse permettant de passer de $90%$ à $100%$
On calcule donc: ${V_A-V_D}/{V_D}={100-90}/{90}≈0,111$
Et comme $0,111={11,1}/{100}=11,1%$, on en déduit que l'action doit remonter d'environ $11,1%$ pour retrouver sa valeur initiale.

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Exemple 2

Déterminer l'évolution réciproque d'une hausse de $10%$.

Solution...
Corrigé

Méthode 1
Comme dans l'exemple précédent, si $t%$ est le pourcentage cherché, alors on obtient:
$1=(1-t%)×(1+10%)$
Et donc: $1-t%={1}/{1+10%}≈0,909$
Et comme $0,909=1-9,1%$, on en déduit que l'évolution réciproque d'une hausse de $10%$ est une baisse d'environ $9,1%$.

Méthode 2
On cherche la baisse permettant de passer de $110%$ à $100%$
On calcule donc: ${V_A-V_D}/{V_D}={110-100}/{110}≈0,091$
Et comme $0,091={9,1}/{100}=9,1%$, on en déduit que l'évolution réciproque d'une hausse de $10%$ est une baisse d'environ $9,1%$.

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Evolutions successives

Le coefficient multiplicateur correspondant à plusieurs évolutions successive est égal au produit des coefficients multiplicateurs des évolutions successives.

Exemple 1

La population d'une ville augmente de $5%$ la première année, puis de $10%$ la seconde année.
a. Quelle est le pourcentage de hausse sur les 2 annés?
b. Quelle est la "hausse moyenne" par année?

Solution...
Corrigé

a. Les coefficients multiplicateurs successifs sont: $1+5%=1,05$ et $1+10%=1,10$.
Leur produit vaut alors: $1,05×1,10=1,155$
Et comme $1,155=1+15,5%$, cela correspond à une hausse totale de $15,5%$.
La population de la ville a augmenté de $15,5%$ sur 2 ans.
Attention, il ne faut pas sommer les pourcentages car ils ne se réfèrent pas à la même valeur!

b. On cherche la valeur de $t$ telle que deux hausses de $t%$ donnent une hausse de $15,5%$.
Les coefficients multiplicateurs successifs sont: $1+t%$ et $1+t%$.
Leur produit vaut alors: $(1+t%)^2=1,155$ car il correspond à une hausse totale de $15,5%$.
On résout donc l'équation (E): $(1+t%)^2=1,155$
(E) $⇔$ $1+t%=√{1,155}≈1,0747$ ou $1+t%=-√{1,155}≈-1,0747$ (ce qui est exclu car un coefficient multiplicateur de hausse est positif)
Donc: (E) $⇔$ $1+t%≈1,0747$ $⇔$ $t≈7,47$
La "hausse moyenne" est de $7,47%$ par mois.
Attention, il ne faut pas faire la moyenne des pourcentages car ils ne se réfèrent pas à la même valeur!

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Exemple 2

Le prix d'un article est fixé au premier janvier. Le prix augmente une première fois à la fin du mois de janvier, puis il augmente à nouveau un mois après. Cela correspond à une hausse totale de $44%$.
Quelle est la "hausse moyenne" par mois sur les deux mois de janvier et février?
Pour information, on cherche la valeur de $t$ telle que deux hausses de $t%$ donnent une hausse de $44%$.

Solution...
Corrigé

Les coefficients multiplicateurs successifs sont: $1+t%$ et $1+t%$.
Leur produit vaut alors: $(1+t%)^2=1,44$ car il correspond à une hausse totale de $44%$.
On résout donc l'équation (E): $(1+t%)^2=1,44$
(E) $⇔$ $1+t%=√{1,44}=1,20$ ou $1+t%=-√{1,44}=-1,20$ (ce qui est exclu car un coefficient multiplicateur de hausse est positif)
Donc: (E) $⇔$ $1+t%=1,20$ $⇔$ $t=20$
La "hausse moyenne" est de $20%$ par mois.

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