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Probabilités conditionnelles

Rappels et compléments

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat précisément.
L'ensemble de tous les résultats possibles (ou éventualités, ou issues, ou événements élémentaires) d'une expérience aléatoire constitue l'univers de l'expérience.    Il est souvent noté $Ω$.

Un événement B est une partie de $Ω$.

Exemple

Notons $i$ l'événement élémentaire: "obtenir la face $i$ en lançant un dé".
On a alors: $Ω=\{1,2,3,4,5,6\}$

Considérons l'événement $B=\{2,4,6\}$.
On peut alors aussi écrire    B: "obtenir un résultat pair en lançant un dé".


Définition

Définir une probabilité sur $Ω$ (supposé dénombrable), c'est associer à chaque événement élémentaire $E$ un nombre $p(E)$, appelé probabilité de $E$, tel que:
   1. pour tout événement élémentaire $E$, on a: $0≤ p(E)≤1$
   2. la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.

Remarque:   $p(E)=0$ $⇔$ E est impossible.           $p(E)=1$ $⇔$ E est certain.

Modéliser une expérience aléatoire, c'est lui associer un univers $Ω$ et une loi de probabilité sur $Ω$.
Le modèle est convenable si la fréquence d'apparition de chaque événement A se stabilise autour de la probabilité p(A) lorsque l'expérience est répétée un très grand nombre de fois.


Définition

Il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires constituant l'univers $Ω$ ont la même probabilité.
Dans ce cas, si l'univers est constitué de $n$ événements élémentaires, alors la probabilité de chacun d'eux vaut ${1}/{n}$.

Exemple

Il y a équiprobabilité dans le cas d'un dé équilibré, mais pas dans le cas d'un dé pipé (truqué) .
Pour un dé équilibré, on a 6 événements élémentaires, et on obtient: $p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)={1}/{6}$
Si on lance un dé équilibré plusieurs fois, la fréquence d'apparition de chaque face va varier en fonction du nombre de lancers effectués.
Mais plus le nombre de lancers augmente, plus il est probable que chaque fréquence d'apparition soit proche de ${1}/{6}$.


Propriété

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Exemple

Pour $B=\{2,4,6\}$, on obtient: $p(B)=p(2)+p(4)+p(6)$.
Dans le cas d'un dé équilibré, on a alors: $p(B)={1}/{6}+{1}/{6}+{1}/{6}={3}/{6}=0,5$.
Considérons un dé pipé (truqué) tel que $p(2)=0,3$, $p(4)=0,15$ et $p(6)=0,2$.
On a alors $p(B)=0,3+0,15+0,2=0,65$


Notation

Si E est un ensemble, alors Card E représente le nombre d'éléments de cet ensemble E.

Propriété

Dans le cas où il y a équiprobabilité, pour tout événement A, on a l'égalité :

$p(A)={Card\, A}/{Card\, Ω}={nombre\, d'éléments\, de\, A}/{nombre\, d'éléments\, de\, Ω}$.

Exemple

Dans le cas d'un dé équilibré, pour $B=\{2,4,6\}$, on a:
Card $B=3$. Or Card $Ω=6$. Donc $p(B)={3}/{6}=0,5$.
On retrouve évidemment le résultat de l'exemple précédent.


Définition

Le contraire d'un événement A est le complémentaire de A dans $Ω$.
On le note: $A↖{-}$.
contraire

Exemple

$E=\{1,2\}=$"obtenir au plus 2".
$E↖{-}=\{3,4,5,6\}=$"obtenir au moins 3".

Propriété

Soit A un événement et $A↖{-}$ son contraire.

On a l'égalité :     $p(A)+p(A↖{-})=1$.

Exemples

On jette un dé.
$B=\{2,4,6\}=$"obtenir un résultat pair".
$B↖{-}=\{1,3,5\}=$" obtenir un résultat impair".
On a: $p(B↖{-})=1-p(B)$.
Dans le cas d'un dé équilibré, cela donne: $p(B↖{-})=1-0,5=0,5$.
Dans le cas du dé pipé précédent, cela donne: $p(B↖{-})=1-0,65=0,35$

De même, si $E=\{1,2\}=$"obtenir au plus 2", alors on obtient: $p(E)={2}/{6}={1}/{3}$
Et par là: $p(E↖{-})=1-{1}/{3}={2}/{3}$

Si la probabilité de gagner à un certain jeu vaut 0,05,
alors la probabilité de perdre est égale à $1-0,05=0,95$


Définitions

L'intersection de A et B, notée $A∩B$ ( on dit " A inter B " ) est l'ensemble constitué des éléments communs à A et à B.
   Ainsi, $x$ appartient à $A∩B$ si et seulement si $x$ appartient à la fois à A et à B.

La réunion de A et B, notée $A∪B$ ( on dit " A union B " ) est l'ensemble constitué des éléments de A et de B.
   Ainsi, $x$ appartient à $A∪B$ si et seulement si $x$ appartient A ou à B (soit à A, soit à B, soit à A et B à la fois).

Exemple

On tire une carte d'un jeu de 52 cartes.
A: " la carte tirée est un as ".
B: " la carte tirée est un coeur ".
Définir par une phrase les événements $A∩B$ et $A∪B$.
Déterminer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(A∩B)$ et $p(A∪B)$

Solution...
Corrigé

$A∩B$: "la carte tirée est l'as de coeur"
$A∪B$: "la carte tirée est un as ou un coeur (ou l'as de coeur)"

On a: Card $Ω=52$.     Il y a équiprobabilité.
Card A=4.      Donc $p(A)={4}/{52}$
Card B=13.     Donc $p(B)={13}/{52}$
Card $A∩B=1$     Donc $p(A∩B)={1}/{52}$
Card $A∪B=4+13-1=16$    (il ne faut pas compter 2 fois l'as de coeur)
Donc $p(A∪B)={16}/{52}$

Réduire...

Propriété

Soit A et B deux événements.

On a l'égalité :     $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)$.

Exemples

Reprenons l'exemple précédent.
On a: $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)={4}/{52}+{13}/{52}-{1}/{52}={16}/{52}$
On retrouve le résultat précédent!


Définition

Deux événements sont incompatibles si et seulement si leur intersection est vide (ils n'ont pas d'élément commun).

Propriété

Si A et B sont deux événements incompatibles, alors $p(A∪B)=p(A)+p(B)$

Exemples

Reprenons l'exemple précédent.
Considérons alors l'événement C: " la carte tirée est un roi ".
A et C sont incompatibles. Donc: $p(A∪C)=p(A)+p(C)={4}/{52}+{4}/{52}={8}/{52}$
La probabilité que la carte tirée soit un as ou un roi vaut ${8}/{52}$.


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