Probabilités
I. Rappels
Définition
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat précisément.
L'ensemble de tous les résultats possibles (ou éventualités, ou issues, ou événements élémentaires) d'une expérience aléatoire
constitue l'univers de l'expérience. Il est souvent noté $Ω$.
Un événement B est une partie de $Ω$.
Exemple
Notons $i$ l'événement élémentaire: "obtenir la face $i$ en lançant un dé".
On a alors: $Ω=\{1,2,3,4,5,6\}$
Considérons l'événement $B=\{2,4,6\}$.
On peut alors aussi écrire B: "obtenir un résultat pair en lançant un dé".
Définition
Définir une probabilité sur $Ω$ (supposé dénombrable), c'est associer à chaque événement élémentaire $E$ un nombre $p(E)$, appelé probabilité de $E$, tel que:
1. pour tout événement élémentaire $E$, on a: $0≤ p(E)≤1$
2. la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Remarque: $p(E)=0$ $⇔$ E est impossible. $p(E)=1$ $⇔$ E est certain.
Définition
Modéliser une expérience aléatoire, c'est lui associer un univers $Ω$ et une loi de probabilité sur $Ω$.
Le modèle est convenable si la fréquence d'apparition de chaque événement A se stabilise autour de la probabilité p(A) lorsque l'expérience est répétée un très grand nombre de fois.
Exemple
On jette un dé truqué de nombreuses fois.
La fréquence d'apparition du 6 est égale au quotient ${\text"nombre de 6 obtenus"}/{\text"nombre de lancers"}$.
On constate que cette fréquence d'apparition du 6 varie en fonction du nombre de lancers effectués.
Mais plus le nombre de lancers augmente, plus cette fréquence semble se rapprocher de 0,2.
On proposera alors de modéliser le lancer de ce dé truqué en estimant que la probabilité d'obtenir un 6 vaut 0,2.
Et on procèdera de même pour les autres faces.
Supposons que l'on obtienne: $p(2)=0,3$, $p(3)=0,1$, $p(4)=0,15$ et $p(5)=0,12$
Comme $p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1$, on a alors:
$p(1)+0,3+0,1+0,15+0,12+0,2=1$
Et par là: $p(1)=0,13$
Définition
Il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires constituant l'univers $Ω$ ont la même probabilité.
Dans ce cas, si l'univers est constitué de $n$ événements élémentaires, alors la probabilité de chacun d'eux vaut ${1}/{n}$.
Exemple
Il y a équiprobabilité dans le cas d'un dé équilibré, mais pas dans le cas d'un dé pipé (truqué) .
Pour un dé équilibré, on a 6 événements élémentaires, et on obtient: $p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)={1}/{6}$
Si on lance un dé équilibré plusieurs fois, la fréquence d'apparition de chaque face va varier en fonction du nombre de lancers effectués.
Mais plus le nombre de lancers augmente, plus il est probable que chaque fréquence d'apparition soit proche de ${1}/{6}$.
Propriété
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
Exemple
Pour $B=\{2,4,6\}$, on obtient: $p(B)=p(2)+p(4)+p(6)$.
Dans le cas d'un dé équilibré, on a alors: $p(B)={1}/{6}+{1}/{6}+{1}/{6}={3}/{6}=0,5$.
Considérons un dé pipé (truqué) tel que $p(2)=0,3$, $p(4)=0,15$ et $p(6)=0,2$.
On a alors $p(B)=0,3+0,15+0,2=0,65$
Notation
Si E est un ensemble, alors Card E représente le nombre d'éléments de cet ensemble E.
Propriété
Dans le cas où il y a équiprobabilité, pour tout événement A, on a l'égalité :
$p(A)={\text"Card"\, A}/{\text"Card"\, Ω}={\text"nombre d'éléments de"\, A}/{\text"nombre d'éléments de"\, Ω}$.
Exemple
Dans le cas d'un dé équilibré, pour $B=\{2,4,6\}$, on a:
Card $B=3$. Or Card $Ω=6$. Donc $p(B)={3}/{6}=0,5$.
On retrouve évidemment le résultat de l'exemple précédent.
Définition
Le contraire d'un événement A est le complémentaire de A dans $Ω$.
On le note: $A↖{-}$.
Exemple
$E=\{1,2\}=$"obtenir au plus 2".
$E↖{-}=\{3,4,5,6\}=$"obtenir au moins 3".
Propriété
Soit A un événement et $A↖{-}$ son contraire.
On a l'égalité : $p(A)+p(A↖{-})=1$.
Exemples
On jette un dé.
$B=\{2,4,6\}=$"obtenir un résultat pair".
$B↖{-}=\{1,3,5\}=$" obtenir un résultat impair".
On a: $p(B↖{-})=1-p(B)$.
Dans le cas d'un dé équilibré, cela donne: $p(B↖{-})=1-0,5=0,5$.
Dans le cas du dé pipé précédent, cela donne: $p(B↖{-})=1-0,65=0,35$
De même, si $E=\{1,2\}=$"obtenir au plus 2", alors on obtient: $p(E)={2}/{6}={1}/{3}$
Et par là: $p(E↖{-})=1-{1}/{3}={2}/{3}$
Si la probabilité de gagner à un certain jeu vaut 0,05,
alors la probabilité de perdre est égale à $1-0,05=0,95$
II. Intersections et réunions
Définitions
L'intersection de A et B, notée $A∩B$ ( on dit " A inter B " ) est l'ensemble constitué des éléments communs à A et à B.
Ainsi, $x$ appartient à $A∩B$ si et seulement si $x$ appartient à la fois à A et à B.
La réunion de A et B, notée $A∪B$ ( on dit " A union B " ) est l'ensemble constitué des éléments de A et de B.
Ainsi, $x$ appartient à $A∪B$ si et seulement si $x$ appartient A ou à B (soit à A, soit à B, soit à A et B à la fois).
Exemple
On tire une carte d'un jeu de 52 cartes.
A: " la carte tirée est un as ".
B: " la carte tirée est un coeur ".
Définir par une phrase les événements $A∩B$ et $A∪B$.
Déterminer les probabilités $p(A)$, $p(B)$, $p(A∩B)$ et $p(A∪B)$
Corrigé
$A∩B$: "la carte tirée est l'as de coeur"
$A∪B$: "la carte tirée est un as ou un coeur (ou l'as de coeur)"
On a: Card $Ω=52$. Il y a équiprobabilité.
Card A=4. Donc $p(A)={4}/{52}$
Card B=13. Donc $p(B)={13}/{52}$
Card $A∩B=1$ Donc $p(A∩B)={1}/{52}$
Card $A∪B=4+13-1=16$ (il ne faut pas compter 2 fois l'as de coeur)
Donc $p(A∪B)={16}/{52}$
Propriété
Soit A et B deux événements.
On a l'égalité : $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)$.
Exemples
Reprenons l'exemple précédent.
On a: $p(A∪B)=p(A)+p(B)-p(A∩B)={4}/{52}+{13}/{52}-{1}/{52}={16}/{52}$
On retrouve le résultat précédent!
Définition
Deux événements sont incompatibles si et seulement si leur intersection est vide (ils n'ont pas d'élément commun).
Propriété
Si A et B sont deux événements incompatibles, alors $p(A∪B)=p(A)+p(B)$
Exemples
Reprenons l'exemple précédent.
Considérons alors l'événement C: " la carte tirée est un roi ".
A et C sont incompatibles. Donc: $p(A∪C)=p(A)+p(C)={4}/{52}+{4}/{52}={8}/{52}$
La probabilité que la carte tirée soit un as ou un roi vaut ${8}/{52}$.