Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

logo maths-bac Les fonctions de référence

I La fonction carré $f(x)=x^2$

Propriété 1

La fonction carré est définie sur $\ℝ$.

Dans un repère orthogonal, elle est représentée par une parabole, dont le "sommet" est l'origine du repère.

Cette parabole a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées.
En effet, pour tout nombre $x$, on a: $f(-x)=f(x)$.
On dit que la fonction est paire.

Tableau de valeur et représentation graphique

tableau de valeurs
parabole

Propriété 2

La fonction carré admet le tableau de variation suivant.

tableau de variation
Exemple 1

On suppose que $2< x< 3$ et $-5< t< -4$.
Encadrer $x^2$ et $t^2$.

Solution...
Corrigé

On a: $2< x< 3$
Donc: $2^2< x^2< 3^2$ ( car la fonction carré est strictement croissante sur [ $0$ ; $+\∞$ [ )
Soit: $4< x^2< 9$

On a: $-5< t< -4$
Donc: $(-5)^2> t^2>(-4)^2$ ( car la fonction carré est strictement décroissante sur ] $-\∞$ ; $0$ ] )
Soit: $25> t^2> 16$

Réduire...

Propriété 3

La fonction carré admet le tableau de signes suivant.
tableau de signes
On notera qu'un carré est toujours positif (ou nul).


Equations et inéquations

Les équations et inéquations de référence concernant la fonction carré sont du type:
$x^2=k$   ,    $x^2<k$   ,    $x^2≤k$   ,    $x^2>k$    et    $x^2≥k$   (où $k$ est un réel fixé).
Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de la parabole représentant la fonction carré (voir l'exemple 2).

La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type:
$(f(x))^2=k$  et   $(f(x))^2<k$   et   celles obtenues en remplaçant $<$ par $≤$ ou $>$ ou $≥$   (où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple") (voir l'exemple 3).

Exemple 2
  1. Résoudre l'équation $x^2=10$
  2. Résoudre l'inéquation $x^2≤10$
  3. Résoudre l'inéquation $x^2≥10$
Solution...
Corrigé
  1. $x^2=10$   $⇔$   $x=√{10}$   ou   $x=-√{10}$
    S$=\{-√{10};√{10}\}$
    f(x)=10
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2=a$ $⇔$ $x=√a$ ou $x=-√a$.

  2. $x^2≤10$   $⇔$   $-√{10}≤x≤√{10}$
    S$=\[-√{10};√{10}\]$
    f(x)<=10
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2≤a$ $⇔$ $-√a≤x≤√a$.

  3. $x^2≥10$   $⇔$   $x≤-√{10}$   ou   $x≥√{10}$
    S$=]-\∞;-√{10}$$]∪[$$√{10};+\∞[$
    f(x)>=10
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2≥a$ $⇔$ $x≤-√{a}$ ou $x≥√{a}$.
Réduire...
Exemple 3

Résoudre l'équation $(2x+1)^2=9$

Solution...
Corrigé

$(2x+1)^2=9$   $⇔$   $2x+1=√{9}$   ou   $2x+1=-√{9}$
      $⇔$   $2x=3-1$   ou   $2x=-3-1$
      $⇔$   $x={2}/{2}=1$   ou   $x={-4}/{2}=-2$
S$=\{-2;1\}$

Réduire...

II La fonction inverse $f(x)={1}/{x}$

Propriété 1

La fonction inverse est définie sur $]-\∞;0[∪]0;+\∞[=\ℝ\\\{0\}={\ℝ}^{*}$

Elle est représentée par une hyperbole.

Cette hyperbole a pour centre de symétrie l'origine du repère.
En effet, pour tout nombre $x$, on a: $f(-x)=-f(x)$.
On dit que la fonction est impaire.

Tableau de valeur et représentation graphique

tableau de valeurs

Le X signifie que 0 n'a pas d'image.

hyperbole

Propriété 2

La fonction inverse admet le tableau de variation suivant.

tableau de variation
Exemple 1

On suppose que $2< x< 3$ et $-5< t< -4$.
Encadrer ${1}/{x}$ et ${1}/{t}$.

Solution...
Corrigé

On a: $2< x< 3$
Donc: ${1}/{2}> {1}/{x}> {1}/{3}$ ( car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] $0$ ; $+\∞$ [ )

On a: $-5< t< -4$
Donc: ${1}/{-5}> {1}/{t}>{1}/{-4}$ ( car la fonction inverse est strictement décroissante sur ] $-\∞$ ; $0$ [] )

Réduire...

Propriété 3

La fonction inverse admet le tableau de signes suivant
tableau de signes
On notera qu'un nombre et son inverse ont même signe.


Equations et inéquations

Les équations et inéquations de référence concernant la fonction inverse sont du type:
${1}/{x}=k$   ,    ${1}/{x}<k$   ,    ${1}/{x}≤k$   ,    ${1}/{x}>k$    et    ${1}/{x}≥k$   (où $k$ est un réel fixé).
Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de l'hyperbole représentant la fonction inverse (voir l'exemple 2).

La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type:
${1}/{f(x)}=k$  et   ${1}/{f(x)}<k$   et   celles obtenues en remplaçant $<$ par $≤$ ou $>$ ou $≥$   (où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple" ) (voir l'exemple 3).

Exemple 2
  1. Résoudre l'équation ${1}/{x}=0,7$
  2. Résoudre l'inéquation ${1}/{x}≤0,7$
  3. Résoudre l'inéquation ${1}/{x}≥0,7$
Solution...
Corrigé
  1. $\D_E=\ℝ\\\{0\}$
    $0$ est une valeur "interdite". Ce ne peut pas être une solution.
    Résolution.
    ${1}/{x}=0,7$   $⇔$   $x={1}/{0,7}$     Donc: S$=\{{1}/{0,7}\}$
    f(x)=0,7
    A retenir: si $a≠0$, alors: ${1}/{x}=a$ $⇔$ $x={1}/{a}$.

  2. $\D_E=\ℝ\\\{0\}$
    ${1}/{x}≤0,7$   $⇔$   $x<0$ ou $x≥{1}/{0,7}$    Donc: S$=]-\∞;0$$[∪[$${1}/{0,7};+\∞[$
    f(x)<=0,7

  3. $\D_E=\ℝ\\\{0\}$
    ${1}/{x}≥0,7$   $⇔$   $0<x≤{1}/{0,7}$    Donc: S$=]0;{1}/{0,7}$]
    f(x)>=0,7
Réduire...
Exemple 3

Résoudre l'équation ${1}/{2x+1}-{2}/{5}=0$

Solution...
Corrigé

On doit avoir: $2x+1≠0$. Soit: $x≠-{1}/{2}$
Donc le domaine d'étude est $\D_E=\ℝ\\\{-{1}/{2}\}$
Cela signifie que $-{1}/{2}$ est une valeur "interdite". Ce ne peut pas être une solution.
Résolution.
On commence par transposer $-{2}/{5}$ pour obtenir une équation du type ${1}/{f(x)}=k$.
${1}/{2x+1}-{2}/{5}=0$   $⇔$  ${1}/{2x+1}={2}/{5}$
       $⇔$  $2x+1={5}/{2}$
       $⇔$  $2x={5}/{2}-1$
       $⇔$  $x={3}/{2}×{1}/{2}={3}/{4}$
S$=\{{3}/{4}\}$
On a bien entendu vérifié que ${3}/{4}$ n'est pas une valeur "interdite".

Réduire...

III La fonction racine carrée $f(x)=√{x}$

Propriété 1

La fonction racine carrée est définie sur $[0;+\∞[={ℝ}_{+}$.

Dans un repère orthogonal, elle est représentée par une demi-parabole, dont le "sommet" est l'origine du repère.

La parabole associée aurait pour axe de symétrie l'axe des abscisses.

Tableau de valeur et représentation graphique

tableau de valeurs
demi-parabole

Propriété 2

La fonction racine carrée admet le tableau de variation suivant.

tableau de variation
Exemple 1

On suppose que $2< x< 3$.
Encadrer $√{x}$.

Solution...
Corrigé

On a: $2< x< 3$
Donc: $√{2}< √{x}< √{3}$ ( car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [ $0$ ; $+\∞$ [ )

Réduire...

Propriété 3

La fonction racine carrée admet le tableau de signes suivant.
tableau de signes
On notera que la racine carrée d'un nombre est toujours positive (ou nulle).


Equations et inéquations

Les équations et inéquations de référence concernant la fonction racine carrée sont du type:
$√{x}=k$   ,    $√{x}<k$   ,    $√{x}≤k$   ,    $√{x}>k$    et    $√{x}≥k$   (où $k$ est un réel fixé).
Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de la demi-parabole représentant la fonction racine carrée (voir l'exemple 2).

La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type:
$√{f(x}=k$  et   $√{f(x}<k$   et   celles obtenues en remplaçant $<$ par $≤$ ou $>$ ou $≥$   (où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple") (voir l'exemple 3).

Exemple 2
  1. Résoudre l'équation $√{x}=10$
  2. Résoudre l'inéquation $√{x}=≤10$
  3. Résoudre l'inéquation $√{x}=≥10$
Solution...
Corrigé
  1. $\D_E={ℝ}_{+}$
    $√{x}=10$   $⇔$   $x=10^2=100$
    S$=\{100\}$
    f(x)=10
    A retenir: si $a≥0$, alors: $√{x}=a$ $⇔$ $x=a^2$.

  2. $\D_E={ℝ}_{+}$
    $√{x}≤10$   $⇔$   $0≤x≤10^2$
    S$=\[0;100\]$
    f(x)<=10
    A retenir: si $a≥0$, alors: $√{x}≤a$ $⇔$ $0≤x≤a^2$.

  3. $\D_E={ℝ}_{+}$
    $√{x}≥10$   $⇔$   $10^2≤x$
    S$=[100;+\∞[$
    f(x)>=10
    A retenir: si $a≥0$, alors: $√{x}≥a$ $⇔$ $x≥a^2$.
Réduire...
Exemple 3

Résoudre l'équation (E): $√{2x+1}-9=0$

Solution...
Corrigé

On doit avoir: $2x+1≥0$. Soit: $x≥-{1}/{2}$
Donc le domaine d'étude est $\D_E=[-{1}/{2};+\∞[$
Cela signifie que les valeurs strictement inférieures à $-{1}/{2}$ sont "interdites".
Résolution.
On commence par transposer $-9$ pour obtenir une équation du type $√{f(x}=k$.
(E)   $⇔$   $√{2x+1}=9$
      $⇔$   $2x+1=9^2$
      $⇔$   $x={81-1}/{2}=40$
S$=\{40\}$

On a bien entendu vérifié que $40$ n'est pas une valeur "interdite".

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IV La fonction cube $f(x)=x^3$

Propriété 1

La fonction cube est définie sur $\ℝ$.

Elle est représentée par une cubique.

Cette cubique a pour centre de symétrie l'origine.
En effet, pour tout nombre $x$, on a: $f(-x)=-f(x)$.
On dit que la fonction est impaire.

Tableau de valeur et représentation graphique

tableau de valeurs
cubique

Propriété 2

La fonction cube admet le tableau de variation suivant.

tableau de variation
Exemple 1

On suppose que $-2< x< 3$.
Encadrer $x^3$.

Solution...
Corrigé

On a: $-2< x< 3$
Donc: $(-2)^3< x^3< 3^3$ ( car la fonction cube est strictement croissante sur $\ℝ$ )
Soit: $-8< x^3< 27$

Réduire...

Propriété 3

La fonction cube admet le tableau de signes suivant.
tableau de signes
On notera qu'un nombre et son cube ont même signe.


Equations et inéquations

Les équations et inéquations de référence concernant la fonction cube sont du type:
$x^3=k^3$   ,    $x^3<k^3$  et   celles obtenues en remplaçant $<$ par $≤$ ou $>$ ou $≥$   (où $k$ est un réel fixé).
Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de la cubique représentant la fonction cube (voir l'exemple 2).

La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type:
$(f(x))^3=k^3$  et   $(f(x))^3<k^3$   et   celles obtenues en remplaçant $<$ par $≤$ ou $>$ ou $≥$   (où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple") (voir l'exemple 3).

Exemple 2
  1. Résoudre l'équation $x^3=5^3$
  2. Résoudre l'inéquation $x^3≤5^3$
  3. Résoudre l'inéquation $x^3≥5^3$
Solution...
Corrigé
  1. $x^3=5^3$   $⇔$   $x=5$
    S$=\{5\}$
    f(x)=5^3
    A retenir: $x^3=k^3$ $⇔$ $x=k$.

  2. $x^5≤5^3$   $⇔$   $x≤5$
    S$=]-\∞;5]$
    f(x)<=5^3
    A retenir: $x^3≤k^3$ $⇔$ $x≤k$.

  3. $x^3≥5^3$   $⇔$   $x≥5$
    S$=[5;+\∞[$
    f(x)>=5^3
    A retenir: $x^3≥k^3$ $⇔$ $x≥k$.
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Exemple 3

Résoudre l'équation $(2x+1)^3=27$

Solution...
Corrigé

$(2x+1)^3=27$   $⇔$   $(2x+1)^3=3^3$   $⇔$   $2x+1=3$
      $⇔$   $2x=3-1$
      $⇔$   $x={2}/{2}=1$
S$=\{1\}$

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