Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les fonctions affines

Exercice 4

1. La fonction $f$ est représentée par la droite $\C_f$ passant par $A(0;2)$ de coefficient directeur $3$.
Déterminer $f(x)$.
2. La fonction $g$ est représentée par la droite $\C_g$ passant par $B(0;5)$ et $C(4;-3)$.
Déterminer $g(x)$.
3. La fonction $h$ est représentée par la droite $\C_h$ passant par $D(-1;5)$ et $E(5;2)$.
Déterminer $h(x)$.
4. La fonction $m$ est représentée par la droite $\C_m$ passant par $F(2;6)$ et de coefficient directeur $-{2}/{7}$.
Déterminer $m(x)$.
5. Cette question est plus difficile. Toute trace de recherche serait prise en compte dans la notation.
La représentation graphique $\C_l$ de la fonction $l$ passe par les points $G(1;2)$, $H(3;0)$ et $K(5;-1,9)$.
La fonction $l$ est-elle une fonction affine?


Solution...
Corrigé

1. La fonction $f$ est représentée par une droite $\C_f$. Donc elle est affine. Donc $f(x)$ est du type $ax+b$.
Comme $\C_f$ a pour coefficient directeur $3$, on a donc: $a=3$.
Comme $\C_f$ passe par $A(0;2)$, l'ordonnée à l'origne de $\C_f$ est 2. Donc $b=2$
Donc finalement: $f(x)=3x+2$.

2. La fonction $g$ est représentée par une droite $\C_g$. Donc elle est affine. Donc $g(x)$ est du type $ax+b$.
Comme $\C_g$ passe par $B(0;5)$ et $C(4;-3)$, son coefficient directeur est: ${y_C-y_B}/{x_C-x_B}={-3-5}/{4-0}={-8}/{4}=-2$. On a donc $a=-2$.
Comme $\C_g$ passe par $B(0;5)$, l'ordonnée à l'origne de $\C_g$ est 5. Donc $b=5$
Donc finalement: $g(x)=-2x+5$.

3. La fonction $h$ est représentée par une droite $\C_h$. Donc elle est affine. Donc $h(x)$ est du type $ax+b$.
Comme $\C_h$ passe par $D(-1;5)$ et $E(5;2)$, son coefficient directeur est: ${y_E-y_D}/{x_E-x_D}={2-5}/{5-(-1)}={-3}/{6}=-0,5$. On a donc $a=-0,5$.
Donc $h(x)=-0,5x+b$.
Comme $\C_h$ passe par $D(-1;5)$, on a: $h(-1)=5$, et par là: $-0,5×(-1)+b=5$.
On obtient alors: $0,5+b=5$, et donc: $b=5-0,5=4,5$.
Donc finalement: $h(x)=-0,5x+4,5$.

4. La fonction $m$ est représentée par une droite $\C_m$. Donc elle est affine. Donc $m(x)$ est du type $ax+b$.
Comme $\C_m$ a pour coefficient directeur $-{2}/{7}$, on a donc: $a=-{2}/{7}$.
Donc $m(x)=-{2}/{7}x+b$.
Comme $\C_m$ passe par $F(2;6)$, on a: $m(2)=6$, et par là: $-{2}/{7}×2+b=6$.
On obtient alors: $-{4}/{7}+b=6$, et donc: $b=6+{4}/{7}={42}/{7}+{4}/{7}={46}/{7}$.
Donc finalement: $m(x)=-{2}/{7}x+{46}/{7}$.

5. $\C_l$ passe par les points $G(1;2)$, $H(3;0)$ et $K(5;-1,9)$.
Un dessin rapide semble indiquer que les points ne sont pas alignés. Donc $\C_l$ ne serait pas une droite. Et par là, $l$ ne serait pas affine.
Mais un dessin n'est pas une preuve! Il ne permet que de "conjecturer".
Pour prouver que $l$ n'est pas affine, nous allons raisonner par l'absurde.
Nous allons supposer que $l$ est affine, puis montrer que cela entraîne une absurdité, et que, par conséquent, l'hypothèse selon laquelle $l$ était affine était fausse.


Supposons que $l$ est affine.
Donc $l(x)$ est du type $ax+b$.
Comme $\C_l$ passe par $G(1;2)$ et $H(3;0)$, son coefficient directeur est: ${y_H-y_G}/{x_H-x_G}={0-2}/{3-1}={-2}/{2}=-1$. On a donc $a=-1$.
Donc $l(x)=-x+b$.
Comme $\C_l$ passe par $H(3;0)$, on a: $l(3)=0$, et par là: $-3+b=0$.
On obtient alors: $b=3$.
Donc finalement: $l(x)=-x+3$.
On a alors: $l(5)=-5+3=-2$.
Or, comme $\C_l$ passe par $K(5;-1,9)$, on a également: $l(5)=-1,9$.
La conclusion serait que: $-2=-1,9$. C'est évidemment absurde!
Par conséquent, la fonction $l$ n'est pas affine!

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