Les fonctions affines
Exercice 8
Donald a un téléphone portable. Il hésite entre deux formules.
S'il choisit la formule A, chaque minute lui est facturée 10 centimes d'euro.
S'il choisit la formule B, chaque minute lui est facturée 7 centimes d'euro, mais il doit en plus verser un forfait mensuel de 17 euros.
1. Soit $f(x)$ la somme payée par Donald en un mois s'il a choisit la formule A et qu'il a téléphoné $x$ minutes ce mois là.
Donner l'expression de $f(x)$.
2. Soit $g(x)$ la somme payée par Donald en un mois s'il a choisit la formule B et qu'il a téléphoné $x$ minutes ce mois là.
Donner l'expression de $g(x)$.
3. Donner l'inéquation à résoudre pour déterminer à partir de quelle durée de communications téléphoniques la formule B est intéressante.
Puis résoudre cette inéquation, et donner la durée trouvée en heures, minutes et secondes, arrondie à la seconde.
Corrigé
1. Avec la formule A, chaque minute coûte $0,10$ euros. Donc: $f(x)=0,10x$.
2. Avec la formule B, chaque minute coûte $0,07$ euros. Mais il ne faut pas oublier le forfait de 17 euros. Donc: $g(x)=0,07x+17$.
3. L'inéquation à résoudre est celle-ci: $g(x)$<$f(x)$.
Résolution: $g(x)$<$f(x)$ $⇔$ $0,07x+17$<$0,10x$ $⇔$ $0,07x-0,10x+17$<$0$ $⇔$ $-0,03x+17$<$0$.
Le membre de gauche est une fonction affine (non constante). Il est donc facile d'isoler $x$.
On obtient: $g(x)$<$f(x)$ $⇔$ $-0,03x$<$-17$ $⇔$ $x$>${-17}/{-0,03}$
A retenir: dans une inéquation, si l'on divise les 2 membres par un nombre strictement négatif, alors le sens de l'inégalité change.
On obtient finalement: $g(x)$<$f(x)$ $⇔$ $x$>${17}/{0,03}$
Donc $\S=]{17}/{0,03};+ ∞[$
Or: ${17}/{0,03}≈566,6667$.
Comme $566=60×9+26$, les 566 minutes représentent 9 heures et 26 minutes.
Comme $0,6667×60≈40$, les $0,6667$ minutes représentent environ 40 secondes.
Donc la formule B est intéressante à partir d'environ 9 heures, 26 minutes et 40 secondes de communication par mois.