La fonction carré
Exercice 2
- On sait que si $0≤a$<$b$, alors $a^2$<$b^2$
Quelle qualité de la fonction carré permet de justifier l'affirmation précédente. - On sait que si $a$<$b≤0$, alors $a^2$>$b^2$
Quelle qualité de la fonction carré permet de justifier l'affirmation précédente. - Sans calculatrice, comparer $(-1,4)^2$ à $(-√2)^2$.
- On suppose que $2$<$x$<$3$. En déduire un encadrement de $x^2$, puis montrer que $|x^2-6,5|<2,5$
- On suppose que $-5$<$x$<$-3$. En déduire un encadrement de $x^2$
On suppose que $-2$<$x$<$3$. En déduire un encadrement de $x^2$- On suppose que $2$<$x$<$4$. Montrer que $|0,25x^2-2,5|<1,5$
Solution...
Corrigé
- Si $0≤a$<$b$, alors $a^2$<$b^2$
En effet, la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +∞[$
- Si $a$<$b≤0$, alors $a^2$>$b^2$
En effet, la fonction carré est strictement décroissante sur $]-∞;0]$
- On a: $√2≈1,41$. Donc: $1,4$<$√2$.
Et par là: $-√2$<$-1,4$ (ce sont deux nombres négatifs).
Et donc: $(-√2)^2$>$(-1,4)^2$, car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-∞;0]$. - On a: $2$<$x$<$3$ (ce sont trois nombres positifs).
Donc: $2^2$<$x^2$<$3^2$, car la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +∞[$.
Soit: 4<$x^2$<9.
Ceci est bien un encadrement de $x^2$
Or l'intervalle $[4;9]$ a pour centre $6,5$ et pour amplitude $5=2×2,5$.
La distance entre $x^2$ et $6,5$ est strictement inférieure à $2,5$
On obtient donc: $|x^2-6,5|<2,5$ - On a: $-5$<$x$<$-3$ (ce sont trois nombres négatifs).
Donc: $(-5)^2$>$x^2$>$(-3)^2$, car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-∞;0]$.
Soit: 25>$x^2$>9.
Ceci est bien un encadrement de $x^2$
- On a: $-2$<$x$<$3$ (ces nombres ne sont pas de même signe; on va distinguer 2 cas).
On a donc: $-2$<$x≤0$ ou $0≤x$<3
Donc: $(-2)^2$>$x^2≥0^2$ ou $0^2≤x^2$<$3^2$, d'après les variations de la fonction carré.
Soit: $4$>$x^2≥0$ ou $0≤x^2$<$9$
Et par là: $0≤x^2$<$9$
Ceci est bien un encadrement de $x^2$ - On a: $2$<$x$<$4$.
Donc: $2^2$<$x^2$<$4^2$, car la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +∞[$.
Soit: $4$<$x^2$<$16$
Donc: $0,25×4$<$0,25×x^2$<$0,25×16$ (multiplier les membres d'une inégalité par un nombre strictement positif n'en change pas le sens)
Soit: $1$<$0,25x^2$<$4$
On a là un encadrement de $0,25x^2$
Or l'intervalle $[1;4]$ a pour centre $2,5$ et pour amplitude $3=2×1,5$.
La distance entre $0,25x^2$ et $2,5$ est strictement inférieure à $1,5$
On obtient donc: $|0,25x^2-2,5|<1,5$