La fonction carré
Exercice 5
Les fonctions $f$ et $g$ définies sur [0;5] sont tracées ci-dessous.
- Que peut-on affirmer sur la nature de la fonction $g$?
-
Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
- Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>0$.
- Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$.
- On admet désormais que $f(x)=x^2-4x+3$ et que $g(x)=x-1$.
Montrer que $f(x)=(x-1)(x-3)$
Retrouver algébriquement les 4 résultats précédents.
Corrigé
- $g$ est représentée par un segment de droite. Donc $g$ est affine.
- $f(x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=3$
S$=\{1;3\}$ -
$f(x)>0$ $⇔$ $0≤x$<$1$ ou $3$<$x≤5$.
S$=[0;1[∪]3;5]$ -
$f(x)=g(x)$ $⇔$ $x=1$ ou $x=4$
S$=\{1;4\}$ - On développe: $(x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3=f(x)$.
On a bien montré que $f(x)=(x-1)(x-3)$.
A retenir:
$f(x)$ apparaît sous 2 formes possibles: une forme factorisée, et une forme développée.
Il conviendra de choisir la plus adaptée en fonction de la question posée.
Retrouvons le premier résultat.
On rappelle que $g(x)=x-1$.
$g(x)$ est du type $ax+b$, donc il est clair que $g$ est affine.
Retrouvons le second résultat.
$f(x)=0$ $⇔$ $(x-1)(x-3)=0$
A retenir: un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul.
Cette propriété nous a incité à choisir la forme factorisée de $f$.
On obtient donc: $f(x)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x-3=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=3$
S$=\{1;3\}$
Retrouvons le troisième résultat.
$f(x)>0$ $⇔$ $(x-1)(x-3)$>$0$
Le membre de gauche est un produit $p$ dont nous allons tout d'abord trouver le signe.
$x-1$ est une fonction affine s'annulant pour $x=1$.
De plus, son coefficient directeur est strictement positif (il vaut 1).
$x-3$ est une fonction affine s'annulant pour $x=3$.
De plus, son coefficient directeur est strictement positif (il vaut 1).
D'où le tableau de signes du produit $p$.
Or, on cherche pour quels $x$ ce produit $p$ est strictement positif.
Donc: S$=[0;1[∪]3;5]$
A retenir: pour dresser le tableau de signes d'une fonction affine (non constante), il suffit de repérer pour quelle valeur elle s'annule. A droite de cette valeur, elle est du signe de son coefficient directeur.
Retrouvons le quatrième résultat.
A savoir: dans une équation, il est conseillé de commencer par rendre le membre de droite égal à 0.
Puis, si le membre de gauche n'est pas une fonction affine, alors il est conseillé d'essayer soit de le factoriser, soit de réduire les termes au même dénominateur.
Ici, nous allons factoriser.
$f(x)=g(x)$ $⇔$ $(x-1)(x-3)=x-1$ $⇔$ $(x-1)(x-3)-(x-1)=0$
Nous factorisons le membre de gauche.
On obtient: $f(x)=g(x)$ $⇔$ $(x-1)((x-3)-1)=0$ $⇔$ $(x-1)(x-4)=0$
Comme un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, on obtient:
$f(x)=g(x)$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x-4=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=4$
S$=\{1;4\}$