Les Maths en Seconde

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Fluctuation et estimation

Exercice 1

Cette année, un village isolé situé près d'une usine chimique a vu naître 67 enfants, parmi lesquels 43 garçons.

  1. Quel est le pourcentage de garçons nés cette année (à $0,001$ près)?
  2. Intrigué par ce pourcentage, le maire se demande si, pour son village, la probabilité $p$ qu'un nouveau né soit un garçon vaut 0,5.
    Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de garçons.
  3. Que peut conclure le maire?
Solution...
Corrigé

A savoir pour faire cet exercice.
Pour la répétition de $n$ expériences aléatoires indépendantes
dont la probabilité de succès est $p$,
l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de succès est: $[p-{{1}}/{√{n}};p+{{1}}/{√{n}}]$
Si $n≥25$, et si $p$ est dans l'intervalle $[0,2;0,8]$,
alors la probabilité que la fréquence de succès soit dans l'intervalle de fluctuation vaut au moins 0,95.


  1. Avec les notations usuelles, on pose: $n=67$, $p=0,5$ et $f={43}/{67}≈0,642$.
    Le pourcentage de garçons nés cette année est d'environ $64,2%$.
  2. L'hypothèse à tester est: "la probabilité $p$ qu'un nouveau né soit un garçon vaut 0,5".
    On a: $n≥25$.
    De plus: $p$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
    On peut donc utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de garçons.
    $p-{{1}}/{√{n}}=0,5-{{1}}/{√{67}}≈0,377$ (par défaut).
    $p+{{1}}/{√{n}}=0,5+{{1}}/{√{67}}≈0,623$ (par excès).
    L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de $F$ vaut environ $[0,377;0,623]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
    On constate que $f$ n'est pas dans l'intervalle de fluctuation ci-dessus.
    Par conséquent, l'hypothèse est rejetée.
    Le maire peut affirmer que la probabilité $p$ ne vaut pas $0,5$ (le risque qu'il se trompe est inférieur à $5\%$).
    On notera que, comme $f$ est au dessus de l'intervalle de fluctuation, la véritable valeur de $p$ est sans doute supérieure à 0,5. Il est possible que la proximité de l'usine chimique perturbe l'équiprobabilité des naissances "garçon-fille".

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