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Fluctuation et estimation

Exercice 1

A savoir pour faire cet exercice.
Définition
Loi des grands nombres (version simple...)
Si l'on répète $n$ expériences aléatoires indépendantes et que $n$ est grand,
alors, sauf exception, la fréquence observée d'un évènement est proche de sa probabilité.

Définition
Si l'on répète $n$ expériences aléatoires indépendantes
dont la probabilité de succès est $p$,
alors l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de succès est: $[p-{{1}}/{√{n}};p+{{1}}/{√{n}}]$
Interprétation
Si $n≥25$ (il suffit donc que le nombre d'expériences soit suffisamment grand),
et si $p$ est dans l'intervalle $[0,2;0,8]$ (il suffit donc que $p$ ne soit ni trop petit, ni trop grand),
alors la probabilité que la fréquence de succès soit dans l'intervalle de fluctuation vaut au moins 0,95.

Cette année, un village isolé situé près d'une usine chimique a vu naître 67 enfants, parmi lesquels 43 garçons.

  1. Quel est le pourcentage de garçons nés cette année (à $0,001$ près)?
  2. Intrigué par ce pourcentage, le maire se demande si, pour son village, la probabilité $p$ qu'un nouveau né soit un garçon vaut 0,5.
    Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de garçons.
  3. Que peut conclure le maire?
Solution...
Corrigé
  1. On calcule: $f={43}/{67}≈0,642$.
    Le pourcentage de garçons nés cette année est d'environ $64,2%$.

  2. Avec les notations usuelles, on pose: $n=67$, $p=0,5$
    $p-{{1}}/{√{n}}=0,5-{{1}}/{√{67}}≈0,377$ (par défaut).
    $p+{{1}}/{√{n}}=0,5+{{1}}/{√{67}}≈0,623$ (par excès).
    L'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de garçons vaut environ $[0,377;0,623]$ (en fait, il est légèrement plus petit).

  3. L'hypothèse à tester est: "la probabilité $p$ qu'un nouveau né soit un garçon vaut 0,5".
    On a: $n≥25$.
    De plus: $p$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
    On peut donc utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de garçons.
    Cet intervalle est environ $[0,377;0,623]$, et $f≈0,642$.
    On constate que $f$ n'est pas dans l'intervalle de fluctuation.
    Par conséquent, l'hypothèse est rejetée.
    Le maire peut affirmer que la probabilité $p$ ne vaut pas $0,5$ (le risque qu'il se trompe est inférieur à $5\%$).
    On notera que, comme $f$ est au dessus de l'intervalle de fluctuation, la véritable valeur de $p$ est sans doute supérieure à 0,5. Il est possible que la proximité de l'usine chimique perturbe l'équiprobabilité des naissances "garçon-fille".
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