Les Maths en Seconde

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Fluctuation et estimation

Exercice 2

Un assureur a une clientèle de 2500 clients. Il considère un échantillon de 120 clients. Parmi eux, 86 n'ont pas eu de sinistre l'année dernière.
Soit $p$ la proportion de clients n'ayant pas eu de sinistre l'année dernière.
Déterminer l'intervalle de confiance pour la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\%$.
Que peut-on en conclure pour $p$?
Que signifie l'expression "au niveau de confiance de $95\%$"?

Solution...
Corrigé

A savoir pour faire cet exercice.
Pour la répétition de $n$ expériences aléatoires indépendantes
dont la probabilité de succès, inconnue, vaut $p$,
et dont la fréquence de succès, observée, vaut $f$,
l'intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la probabilité de succès est: $[f-{{1}}/{√{n}};f+{{1}}/{√{n}}]$
Cet intervalle est utilisable si $n≥25$, et si $f$ est dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
Dans ce cas, $p$ est dans au moins 95% de l'ensemble de tous les intervalles de confiance.


Avec les notations usuelles, on pose: $n=120$, $f={86}/{120}≈0,717$.
On a: $n≥25$.
De plus: $f$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
On peut donc utiliser l'intervalle de confiance pour la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\%$.
$f-{1}/{√{n}}≈0,717-{1}/{√{120}}≈0,625$ (par défaut).
$f+{1}/{√{n}}≈0,717+{1}/{√{120}}≈0,809$ (par excès).
L'intervalle de confiance pour la proportion $p$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,625;0,809]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
Donc on peut affirmer que $p$ est dedans avec un niveau de confiance moins égal à 0,95.
Mais on ne peut pas en déduire la valeur exacte de $p$.
La valeur 0,717, centre de l'intervalle, n'est qu'une estimation de $p$!
Et rappelons que $p$ peut même être en dehors de cet intervalle.
L'expression "au niveau de confiance de $95\%$" signifie que, dans au moins $95\%$ des échantillons, la proportion $p$ se situe dans l'intervalle de confiance. Il est équivalent de dire que, avant de constituer un échantillon, la probabilité que la proportion $p$ soit finalement dans cet échantillon est au moins égale à 0,95.

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