Fluctuation et estimation
Exercice 3
A savoir pour faire cet exercice.
Définition
Si l'on répète $n$ expériences aléatoires indépendantes
dont la probabilité de succès, inconnue, vaut $p$,
et dont la fréquence de succès, observée, vaut $f$,
alors l'intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la probabilité de succès est: $[f-{{1}}/{√{n}};f+{{1}}/{√{n}}]$
Interprétation
Cet intervalle est utilisable si $n≥25$, et si $f$ est dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
Dans ce cas, $p$ est dans au moins 95% de l'ensemble de tous les intervalles de confiance.
La police scientifique a prélevé un échantillon de terre sous les semelles d'un suspect.
Cet échantillon de 50 grammes contient 10 grammes de calcaire.
On peut considérer que cet échantillon est la répétition de 50 prélèvements indépendants de 1 gramme chacun, chacun étant constitué soit uniquement de calcaire, soit sans trace de calcaire.
On suppose que le suspect a marché dans un lieu terreux dont le taux de calcaire moyen est $p_1$.
Les enquêteurs se demandent si le suspect s'est rendu dans le jardin de la villa V dont le taux de calcaire moyen est $p_2$.
Ils y prélèvent un second échantillon de terre de 250 grammes qui contient 102 grammes de calcaire.
On peut considérer que cet échantillon est la répétition de 250 prélèvements indépendants de 1 gramme chacun, chacun étant constitué soit uniquement de calcaire, soit sans trace de calcaire.
- Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, du taux de calcaire de chacun des échantillons.
- Conclure.
Corrigé
- Premier échantillon
Avec les notations usuelles, on pose: $n=50$, $f={10}/{50}=0,20$.
On a:$n≥25$.
De plus: $f$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
On peut donc utiliser l'intervalle de confiance pour la proportion $p_1$ au niveau de confiance de $95\%$.
$f-{1}/{√{n}}=0,20-{1}/{√{50}}≈0,0,058$ (par défaut).
$f+{1}/{√{n}}=0,20+{1}/{√{50}}≈0,342$ (par excès).
L'intervalle de confiance pour le taux de calcaire $p_1$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,058;0,342]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
Second échantillon
Avec les notations usuelles, on pose: $n=250$, $f={102}/{250}=0,408$.
On a: $n≥25$.
De plus: $f$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
On peut donc utiliser l'intervalle de confiance pour la proportion $p_2$ au niveau de confiance de $95\%$.
$f-{1}/{√{n}}=0,408-{1}/{√{250}}≈0,344$ (par défaut).
$f+{1}/{√{n}}=0,408+{1}/{√{250}}≈0,472$ (par excès).
L'intervalle de confiance pour le taux de calcaire $p_2$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,344;0,472]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
- Les deux intervalles sont disjoints, on peut donc conclure à une différence entre les taux de calcaire $p_1$ et $p_2$ au niveau de confiance 0,95. Le suspect n'est sans doute pas allé dans le jardin de la villa V.