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Fluctuation et estimation

Exercice 3

A savoir pour faire cet exercice.
Définition
Si l'on répète $n$ expériences aléatoires indépendantes
dont la probabilité de succès, inconnue, vaut $p$,
et dont la fréquence de succès, observée, vaut $f$,
alors l'intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la probabilité de succès est: $[f-{{1}}/{√{n}};f+{{1}}/{√{n}}]$
Interprétation
Cet intervalle est utilisable si $n≥25$, et si $f$ est dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
Dans ce cas, $p$ est dans au moins 95% de l'ensemble de tous les intervalles de confiance.

La police scientifique a prélevé un échantillon de terre sous les semelles d'un suspect. Cet échantillon de 50 grammes contient 10 grammes de calcaire. On suppose que le suspect a marché dans un lieu terreux dont le taux de calcaire moyen est $p_1$.
Les enquêteurs se demandent si le suspect s'est rendu dans le jardin de la villa V dont le taux de calcaire moyen est $p_2$. Ils y prélèvent un second échantillon de terre de 250 grammes qui contient 102 grammes de calcaire.

  1. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, du taux de calcaire de chacun des échantillons.
  2. Conclure.

Solution...
Corrigé
  1. Premier échantillon
    Avec les notations usuelles, on pose: $n=50$, $f={10}/{50}=0,20$.
    On a:$n≥25$.
    De plus: $f$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
    On peut donc utiliser l'intervalle de confiance pour la proportion $p_1$ au niveau de confiance de $95\%$.
    $f-{1}/{√{n}}=0,20-{1}/{√{50}}≈0,0,058$ (par défaut).
    $f+{1}/{√{n}}=0,20+{1}/{√{50}}≈0,342$ (par excès).
    L'intervalle de confiance pour le taux de calcaire $p_1$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,058;0,342]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
    Second échantillon
    Avec les notations usuelles, on pose: $n=250$, $f={102}/{250}=0,408$.
    On a: $n≥25$.
    De plus: $f$ est bien compris dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
    On peut donc utiliser l'intervalle de confiance pour la proportion $p_2$ au niveau de confiance de $95\%$.
    $f-{1}/{√{n}}=0,408-{1}/{√{250}}≈0,344$ (par défaut).
    $f+{1}/{√{n}}=0,408+{1}/{√{250}}≈0,472$ (par excès).
    L'intervalle de confiance pour le taux de calcaire $p_2$ au niveau de confiance de $95\%$ vaut environ $[0,344;0,472]$ (en fait, il est légèrement plus petit).
  2. Les deux intervalles sont disjoints, on peut donc conclure à une différence entre les taux de calcaire $p_1$ et $p_2$ au niveau de confiance 0,95. Le suspect n'est sans doute pas allé dans le jardin de la villa V.
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