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Fluctuation et estimation

Exercice 4

A savoir pour faire cet exercice.
Définition
Loi des grands nombres (version simple...)
Si l'on répète $n$ expériences aléatoires indépendantes et que $n$ est grand,
alors, sauf exception, la fréquence observée d'un évènement est proche de sa probabilité.

Définition
Si l'on répète $n$ expériences aléatoires indépendantes
dont la probabilité de succès est $p$,
alors l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la fréquence de succès est: $[p-{{1}}/{√{n}};p+{{1}}/{√{n}}]$
Interprétation
Si $n≥25$ (il suffit donc que le nombre d'expériences soit suffisamment grand),
et si $p$ est dans l'intervalle $[0,2;0,8]$ (il suffit donc que $p$ ne soit ni trop petit, ni trop grand),
alors la probabilité que la fréquence de succès soit dans l'intervalle de fluctuation vaut au moins 0,95.

On lance un dé en forme de tétraèdre régulier. Ses faces sont numérotées 1, 2, 3 et 4.
On définit l'événement S: "le numéro sorti est 4"

  1. Déterminer $p(S)$.
  2. Le programme suivant (en PYTHON) est sensé fournir une fonction frequence() qui renvoie la fréquence de l'événement S lors de la simulation d'un échantillon de 100 lancers du dé tétraédrique.
    fig3
    Mais ce programme comporte quelques fautes.
    Corriger le et proposer un programme valide.
  3. Déterminer l'intervalle de fluctuation I au seuil de $95\%$ de la fréquence de l'événement S lors de la simulation d'un échantillon de 100 lancers du dé tétraédrique.
  4. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On considère $n$ échantillons de 100 lancers du dé tétraédrique.
    On s'intéresse à la fréquence $f_{I}$ des échantillons dont la fréquence de l'événement S se situe dans l'intervalle de fluctuation I.
    Le programme suivant (en PYTHON) est sensé fournir une fonction stats(n) qui renvoie la fréquence $f_I$.
    fig4
    Mais ce programme comporte quelques fautes.
    Corriger le et proposer un programme valide.
  5. Que peut-on dire de la valeur retournée par la fonction stat(n) si n est assez grand?
Solution...
Corrigé
  1. Il y a équiprobabilité. Un seul cas est favorable sur les 4 cas possibles. Donc $p(S)={1}/{4}=0,25$.
  2. Le programme suivant (en PYTHON) fournit une fonction frequence() qui renvoie la fréquence de l'événement S lors de la simulation d'un échantillon de 100 lancers du dé tétraédrique.
    fig1
    ligne 4: la valeur de k va parcourir les entiers de 0 à 100-1=99.
    La boucle sera donc parcourue 100 fois.
    ligne 5: randint(1,4) renvoie un entier aléatoire entre 1 et 4.
    Cet entier est ajouté à l'extrémité de la liste L.
    ligne 6: la fonction retourne la fréquence demandée, c'est à dire le quotient du nombre de 4 dans la liste par 100.
  3. Avec les notations usuelles, on pose: $n=100$ et $p=0,25$.
    $p-{{1}}/{√{n}}=0,25-{{1}}/{√{100}}=0,15$.
    $p+{{1}}/{√{n}}=0,25+{{1}}/{√{100}}=0,35$.
    L'intervalle de fluctuation I au seuil de $95\%$ de la fréquence de l'événement S lors de la simulation d'un échantillon de 100 lancers du dé tétraédrique est:
    $I=[ \,0,15 \, ; \,0,35 \, ]$
  4. Le programme suivant (en PYTHON) est fournit une fonction stats(n) qui renvoie la fréquence $f_I$.
    fig2
    ligne 10: la valeur de k va parcourir les entiers de 0 à n-1.
    La boucle sera donc parcourue n fois.
    ligne 12: c compte les échantillons corrects; il est augmenté de 1 si l'échantillon est convenable.
    ligne 13: la fonction retourne la fréquence demandée, c'est à dire le quotient de c par n.
  5. Ici, la taille de chaque échantillon est de 100; elle est donc supérieure ou égale à 25.
    De plus,comme $p=0,25$, $p$ est bien dans l'intervalle $[0,2;0,8]$.
    Par conséquent, la probabilité que la fréquence de succès soit dans l'intervalle de fluctuation I vaut au moins 0,95.
    Donc, si $n$ est assez grand, il est fort probable que la fonction stat(n) retourne une valeur supérieure à 0,95.

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