Généralités sur les fonctions
Exercice 1
Soit $f(x)$ la fonction représentée par la courbe $\C$, et $g$ la fonction représentée par le segment $t$.
Toutes les réponses aux questions qui suivent se trouvent graphiquement. Il est inutile de justifier vos réponses.
1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et celui de $g$.
Pour information, chercher graphiquement le domaine de définition d'une fonction $f$, c'est chercher sur l'axe des abscisses
l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe. Cet ensemble est souvent noté $D_f$
2.a. Quelle est l'image de 5 par $f$?
2.b. Quelle est l'image de 1 par $f$?
2.c. Quelle est l'image de 0 par $f$?
2.d. Que vaut $f(2)$?
3.a. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 8 par $f$.
3.b. Déterminer le (ou les) antécédents de 3 par $f$.
4.a. Résoudre l'équation $f(x)=3$.
4.b. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
4.c. Résoudre l'équation $f(x)=-1$.
5.a. Résoudre l'inéquation $f(x)≤0$.
5.b. Résoudre l'inéquation $f(x)>0$.
5.c. Résoudre l'inéquation $f(x)<3$.
6. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
7. Résoudre l'inéquation $f(x)>g(x)$.
Solution...
Corrigé
1.
Graphiquement, on constate que les deux courbes sont tracées pour $x$ compris entre 0 et 5.
Donc $\D_f=[0;5]$ et $\D_g=[0;5]$.
2.a. L'image de 5 par $f$ est 8. On note aussi: $f(5)=8$.
A retenir: dans l'expression $f(x)=y$, le nombre $y$ est l'image du nombre $x$ par $f$.
2.b. L'image de 1 par $f$ est 0. On note aussi: $f(1)=0$.
2.c. L'image de 0 par $f$ est 3. On note aussi: $f(0)=3$.
2.d. $f(2)=-1$. On dit aussi que l'image de 2 par $f$ est $-1$.
3.a. Le nombre 8 a un seul antécédent par $f$: il s'agit du nombre 5.
A retenir: chercher le (ou les) antécédents de 8 par $f$ est équivalent à résoudre l'équation $f(x)=8$.
3.b. Le nombre 3 a deux antécédents par $f$: il s'agit des nombres 0 et 4.
A retenir: chercher le (ou les) antécédents de 3 par $f$ est équivalent à résoudre l'équation $f(x)=3$.
4.a. $f(x)=3$ $⇔$ $x=0$ ou $x=4$. L'ensemble des solutions de cette équation est donc $\S=\{0;4\}$.
A retenir: le nombre de solutions est fini; les solutions se notent entre accolades.
4.b. $f(x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=3$. Par conséquent: $\S=\{1;3\}$.
4.c. $f(x)=-1$ $⇔$ $x=2$. Donc: $\S=\{2\}$.
5.a. $f(x)≤0$ $⇔$ $1≤x≤3$.
On a déterminé toutes les abscisses des point de $\C$ dont les ordonnées sont négatives.
Les abscisses cherchées sont tous les nombres compris entre 1 et 3.
Pour représenter l'ensemble des solutions, on utilise des crochets.
L'ensemble des solutions de cette inéquation est finalement $\S=[1;3]$.
5.b. $f(x)>0$ $⇔$ $0≤x$<$1$ ou $3$<$x≤5$.
Donc $\S=[0;1[⋃]3;5]$.
Le symbole $⋃$ se dit "union".
Les abscisses cherchées sont tous les nombres compris entre 0 et 1 (sauf 1) et aussi tous les nombres compris entre 3 et 5 (sauf
3).
5.c. $f(x)<3$ $⇔$ $0$<$x$<$4$.
On a déterminé toutes les abscisses des point de $\C$ dont les ordonnées sont strictement inférieures à 3.
Les abscisses cherchées sont tous les nombres strictement compris entre 0 et 4.
L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc $\S=]0;4[$.
6. $f(x)=g(x)$ $⇔$ $x=1$ ou $x=4$. Donc $\S=\{1;4\}$.
On a déterminé toutes les abscisses des point communs à $\C$ et à $t$.
Les abscisses cherchées étaient les nombres 1 et 4.
7. $f(x)>g(x)$ $⇔$ $0≤x$<$1$ ou $4$<$x≤5$.
Donc $\S=[0;1[⋃]4;5]$.