Les Maths en Seconde

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Généralités sur les fonctions

Exercice 2

1. Soit $f(x)=2-{3}/{-3x+1}$
Déterminer le domaine de définition de $f$.
Pour information, chercher le domaine de définition d'une fonction $f$ dont l'expression $f(x)$ est connue, c'est chercher le plus grand ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe. Cet ensemble est souvent noté noté $D_f$.
2. Soit $g(x)=√{5x+2}$
Déterminer le domaine de définition de $g$.
Pour information, $√{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$.
$√{a}$ existe si et seulement si $a$ est positif ou nul.

3. Soit $h(x)=2-{3}/{√{x-2}}$
Déterminer le domaine de définition de $h$.
4. Soit $l(x)=3x^2+2x-1$
Déterminer le domaine de définition de $l$


Solution...
Corrigé

1. Soit $f(x)=2-{3}/{-3x+1}$
Le dénominateur d'un quotient ne peut être nul.
On doit donc avoir: $-3x+1≠0$
Soit: $-3x+1-1≠0-1$ Cette étape est facultative!
Soit: $-3x≠-1$ Cette étape est facultative!
Soit: ${1}/{-3}×(-3x)≠{1}/{-3}×(-1)$ Cette étape est facultative!
Soit: $x≠{1}/{3}$
Donc le domaine de définition de la fonction $f$ est l'ensemble de tous les nombres réels excepté ${1}/{3}$.
On écrit: $D_f=]-\∞;{1}/{3}[⋃]{1}/{3};+\∞[$.
N'oublie pas que $-\∞$ n'est pas un nombre, et que, par conséquent, il n'appartient pas à l'intervalle $]-\∞;{1}/{3}[$.
De même, $+\∞$ n'est pas un nombre; par conséquent, il n'appartient pas à l'intervalle $]{1}/{3};+\∞[$.

Par ailleurs, il faut savoir que l'ensemble de tous les nombres réels se note $ℝ$.
On peut donc aussi noter l'ensemble de définition sous la forme: $D_f=ℝ\ ∖\{{1}/{3}\}$



2. Soit $g(x)=√{5x+2}$
Une expression sous un radical est positive.
On doit donc avoir: $5x+2≥0$
Soit: $5x≥-2$ Cette étape est facultative!
Soit: $x≥{-2}/{5}$ Notons que la division par 5, qui est strictement positif, n'a pas changé le sens de l'inégalité!
Donc le domaine de définition de la fonction $g$ est l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à $-{2}/{5}$.
On écrit: $D_f=[-{2}/{5};+\∞[$.

3. Soit $h(x)=2-{3}/{√{x-2}}$
Le dénominateur d'un quotient ne peut être nul. Et une expression sous un radical est positive.
On doit donc avoir: $√{x-2}≠0$ et $x-2≥0$
Soit: $x-2≠0$ et $x-2≥0$
Soit: $x-2>0$
Soit: $x>2$
Donc $D_h=]2;+\∞[$.

4. Soit $l(x)=3x^2+2x-1$
Il est clair que l'on peut calculer $l(x)$ pour n'importe quelle valeur de $x$.
Donc $D_l=ℝ$.
Vous verrez par la suite que, lorsque le domaine de définition d'une fonction n'est pas cité, il est fréquemment égal à $ℝ$.

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