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Généralités sur les fonctions

Exercice 3

Soit $f(x)$ la fonction définie sur $[0;5]$ par $f(x)= 0,25(x-2)^3+2$.
La fonction $f$ sera représentée par la courbe $\C$.
Soit $g$ la fonction définie sur $[0;5]$ par $g(x)= x$.
La fonction $g$ sera représentée par la courbe $r$.

1.a. Compléter le tableau de valeurs suivant:
fig6
1.b. Tracer $\C$ et $r$ sur un même graphique (échelle: 1 unité pour 1cm sur l'axe des abscises, et pour 0,5cm sur l'axe des ordonnées).

2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$.

3. Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x)≥f(x)$.

4.a. L'entreprise Exploz fabrique entre 0 et 5 tonnes d'un produit chimique. Le coût de fabrication de $x$ tonnes de ce produit est $f(x)$ (en milliers d'euros).
Combien coûte la fabrication de 5 tonnes de produit?
4.b. Déterminer graphiquement quelle quantité de produit a été fabriquée si le coût de fabrication était de 4 000 euros?

5.a.L'entreprise Exploz vend la totalité des $x$ tonnes qu'elle a fabriquées.
Chaque tonne lui rapporte 1 000 euros.
Les $x$ tonnes vendues lui rapportent donc $x$ milliers d'euros.
La recette associée à la vente de $x$ tonnes de produits est donc $g(x)=x$.
Soit $b(x)$ le gain (en milliers d'euros) réalisé par l'entreprise si elle fabrique et vend $x$ tonnes de produit.
On rappelle que si le gain est positif, alors il s'agit de bénéfice, sinon, il s'agit de perte.
Montrer que $b(x)=-0,25x^3+1,5x^2-2x$
Il est conseillé de prouver d'abord que $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$.
5.b. Soit $B$ la courbe représentative de la fonction $b$. Tracer $B$ sur le graphique précédent.
5.c. Déterminer graphiquement ce que l'entreprise doit produire pour ne pas perdre d'argent (en supposant qu'elle vend tout ce qu'elle fabrique).
5.d. Déterminer graphiquement ce que l'entreprise doit produire pour avoir un bénéfice maximal (en supposant qu'elle vend tout ce qu'elle fabrique).

Solution...
Corrigé

Remarque concernant le domaine de définition de $f$.
Sans précision de l'énoncé, une fonction qui est donnée par l'expression $0,25(x-2)^3+2$ est définie sur $ℝ$.
Mais ici, l'énoncé est clair: la fonction $f$ n'est définie que sur l'intervalle $[0;5]$.
La raison de cette restriction apparait à la question 4.

1.a. Voici le tableau de valeurs complété:
fig4
Pour remplir un tel tableau, il est possible de calculer chaque image séparément. Mais il est beaucoup plus rapide d'utiliser le menu TABL ou TABLE de sa calculatrice.

1.b. La fonction $f$ n'est pas une fonction de référence connue. Sa courbe s'obtient grâce au tableau précédent.
La fonction $g$ est linéaire. Et comme elle n'est définie que sur [0;5], sa représentation graphique $r$ est un segment de droite passant par l'origine.
Comme $r(4)=4$, le segment passe aussi par le point de coordonnées (4;4).
D'où les tracés ci-dessous.
fig2
2. $f(x)=g(x)$ $⇔$ $x=0$ ou $x=2$ ou $x=4$. Donc $\S=\{0;2;4\}$.
.
3. $g(x)≥f(x)$ $⇔$ $x=0$ ou $2≤x≤4$.Donc $\S=\{0\}⋃[2;4]$.
.
4.a. On a: $f(5)=0,25×(5-2)^3+2=0,25×3^3+2=0,25×27+2=8,75$
Donc la fabrication de 5 tonnes de produit coûte 8,75 milliers d'euros (c'est à dire 8 750 euros).

4.b. Notons que 4 000 euros représentent 4 milliers d'euros.
Or, graphiquement, on constate que $f(x)=4$ $⇔$ $x=4$.
Donc, si le coût de fabrication était de 4 000 euros, alors l'entreprise a fabriqué 4 tonnes de produit.

5.a. On a: $(x-2)^3=(x-2)×(x-2)^2=(x-2)×(x^2-2×x×2+2^2)$
A retenir: l'identité remarquable utilisée ci-dessus: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=2$.
On continue le calcul: $(x-2)^3=(x-2)×(x^2-4x+4)=x×x^2-x×4x+x×4-2×x^2-2×(-4x)-2×4$
Soit: $(x-2)^3=x^3-4x^2+4x-2x^2+8x-8=x^3-6x^2+12x-8$.
Finalement, on a obtenu l'égalité prévue: $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$.

On va alors chercher l'expression de $b(x)$.
On rappelle que le gain d'une entreprise est la différence entre ses recettes et ses coûts.
On a: $b(x)=g(x)-f(x)=x-(0,25(x-2)^3+2)$
Soit: $b(x)=x-(0,25(x^3-6x^2+12x-8)+2)$
Soit: $b(x)=x-(0,25×x^3-0,25×6x^2+0,25×12x-0,25×8+2)$
Soit: $b(x)=x-(0,25x^3-1,5x^2+3x-2+2)$
Soit: $b(x)=x-0,25x^3+1,5x^2-3x+2-2)$
Soit: $b(x)=-0,25x^3+1,5x^2-2x$
On a donc démontré l'égalité proposée.

5.b. La fonction $b$ n'est pas une fonction de référence connue. Sa courbe s'obtient grâce à un tableau de valeurs (où les valeurs sont arrondies à 0,01 près si besoin).
fig5
D'où le tracé de $B$ ci-dessous.
fig3

5.c. On a: $b(x)≥0)$ $⇔$ $x=0$ ou $2≤x≤4$.
La production doit: soit être nulle, soit être comprise entre 2 et 4 tonnes, pour que de l'entreprise ne perde pas d'argent.
On retrouve évidemment le résultat du 3.

5.d. Graphiquement, le maximum de $b$ est d'environ 0,8 milliers d'euros.
Il est obtenu pour une production d'environ 3,2 tonnes.

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